Um desvio padrão de pontuações brutas pode ser relatado como um desvio padrão de porcentagens?

Suponha que tenhamos um teste composto por 30 perguntas e 10 pessoas o façam. A pontuação média do teste dessas 10 pessoas é 17 e o desvio padrão de todas as pontuações da amostra é 4. Ao relatar as estatísticas descritivas na escola, usamos essas pontuações brutas e escrevemos ( M = 17, DP = 4); mas, em alguns casos, tenho a sensação de que a porcentagem de relatórios seria melhor. Porque acho que temos uma compreensão mais intuitiva do que significa pontuar 56,7 acima de 100 do que pontuar 17 acima de 30 (provavelmente porque estamos acostumados ao sistema decimal).

Assim, para o exemplo dado acima, seria possível relatar a média e o desvio padrão como ( M = 56,7%, DP = 13,3%)?

Faz sentido dizer que as pontuações dos exames em uma amostra têm o desvio padrão de 13,3%?

Essas porcentagens são o equivalente aritmético das pontuações brutas que elaborei e forneci acima, mas não tenho certeza se é uma boa prática convertê-las diretamente em porcentagens como essa.

mean standard-deviation percentage Freya
fonte

No AFAIK, você pode transformar variáveis contínuas em outra escala e mostrar a distribuição nessa escala, desde que você saiba claramente como chegou lá. No entanto, no seu caso, você pode se perguntar se a pontuação bruta obtida em 30 perguntas oferece informações suficientes para transformar em uma escala contínua que varia de 0 a 100 (%) (porque os dados suportam apenas incrementos de 3,33%).

IWS

Sim, é verdade. Uma pontuação acima de 30 não é tão informativa quanto a pontuação convertida (acima de 100), porque os incrementos de 100 são menores (1) e, portanto, um teste acima de 100 pontos seria mais "sensível", desde que todas as notas sejam inteiras. Ainda assim, dada sua resposta, acho que não será considerado "má prática" no meu caso denunciá-las dessa maneira. (Na verdade, estou preparando uma tarefa para a escola e relatarei a média bruta e o DP no texto, mas acredito que fará mais sentido mostrar essas pontuações como porcentagens nas tabelas e gráficos). Pelo que entendi, isso seria factível.

Freya

Apenas para concluir: observe que algumas transformações podem realmente alterar a forma da distribuição; portanto, você não deve aplicar apenas a transformação que deseja aplicar aos seus dados diretamente no local e na distribuição da sua medida. Em vez disso, aplique a transformação aos seus dados e avalie as medidas de localização e propagação como se fossem os dados originais (ou seja, redefina a média e o sd no seu caso).

IWS

Tecnicamente, como uma medida de distância e não de localização, o DP seria em pontos percentuais (pp) e não em porcentagem. Eu também teria receio de interpretá-lo nesse contexto, pois o modelo de erro deve levar em conta que a escala é discreta como o @freya mencionado.

James

Respostas:

O desvio padrão é apenas uma propriedade estatística que você pode medir para um conjunto de pontos de dados. O desvio padrão não faz nenhuma suposição de que seus dados são normalmente distribuídos ou que passaram / não passaram por nenhuma transformação, linear ou não.

Portanto, é perfeitamente aceitável usar o desvio padrão em qualquer dado, incluindo as pontuações percentuais.

Observe que, no seu caso particular, a transformação que você está aplicando é uma transformação linear, no formato:

y = A x + b

$y = Ax + b$

isto é, uma transformação afim. Assim, você pode calcular o desvio padrão nos dados originais não transformados e multiplicar Apara obter o desvio padrão após a transformação. Parece não haver nenhuma vantagem específica em fazer isso, em vez de simplesmente calcular o desvio padrão nos dados já transformados, mas isso pode ser tranquilizador.

Podemos ver que uma transformação afim transformará o desvio padrão linearmente por , da seguinte maneira: $A$

Como temos dados de entrada , o desvio padrão original, , será dado por: $\{X_1, X_2, ..., X_n\}$ $\sigma$

σ_{X}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{j})}^{2}

$\sigma_X^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left(X_i - \frac{1}{n}\sum_{j=1}^n X_j\right)^2$

Vamos aplicar a transformação . Então nós temos $Y = AX + b$

σ_{Y}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(A X_{i} + b - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (A X_{j} + b))}^{2}

$\sigma_Y^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j + b \right) \right)^2$

= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(A X_{i} + b - n \frac{1}{n} b - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (A X_{j}))}^{2}

$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i + b - n\frac{1}{n}b - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$

= \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(A X_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (A X_{j}))}^{2}

$= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( AX_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( AX_j \right) \right)^2$

= A^{2} (\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} {(X_{i} - \frac{1}{n} \sum_{j = 1}^{n} (X_{j}))}^{2})

$= A^2 \left( \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \left( X_i - \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n \left( X_j \right) \right)^2 \right)$

= A^{2} σ_{X}^{2}

$= A^2 \sigma_X^2$

Portanto

σ_{Y} = A σ_{X} .

$\sigma_Y = A \sigma_X.$

Hugh Perkins
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Isso é realmente muito útil e esclarecedor. Obrigado.

Freya