Estou trabalhando em uma distribuição específica cujo cdf inverso não existe na forma fechada. O cdf da distribuição é dado por

F (x; d, m, p, α, β) = \frac{1 1 - (1 1 + x^{m})^{- d} \exp (- β x^{α})}{1 1 - p (1 1 + x^{m})^{- d} \exp (- β x^{α})}

$F(x; d, m, p, \alpha, \beta) = \frac{1-(1+x^m)^{-d} \exp(-\beta x^\alpha)}{1-p(1+x^m)^{-d} \exp(-\beta x^\alpha)}$

para e estritamente positivos . $m, d, \alpha, \beta$ $0\lt p \lt 1$

Meu problema é que sou novo no Rpacote e preciso gerar amostra aleatória a partir da distribuição usando R.

r distributions random-generation Soma
fonte

Nota: esta fórmula para nem sempre fornece um cdf: você deve restringi-lo ao domínio para que ele seja definido e válido.

F

$F$

x \geq 0

$x\ge 0$

whuber

Desculpe, esqueci de colocar. É cdf com x≥0. Obrigado @Whuber.

Soma

Inverter

F

$F$ você vai ter que resolver

y = \exp (- β x^{α}) / (1 + x^{m})

$y=\exp(-\beta x^\alpha)/(1+x^m)$ numericamente porque essa é uma equação transcendental. Talvez algum esquema inteligente de aceitação / rejeição esteja em ordem aqui?

StijnDeVuyst 15/10

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user603

Resolver a equação diretamente pode ser problemático e incerto para os quantis mais altos

q

$q$ . Em vez disso, resolva

registro (1 1 - q) = registro (1 1 - F (x; d, m, p, 1 1, 1 1)) = registro (\frac{1 1 - p}{- p + e^{z} {(z^{m} + 1 1)}^{d}})

$\log(1-q) =\log(1-F(x;d,m,p,1,1))= \log\left(\frac{1-p}{-p+e^z \left(z^m+1\right)^d}\right)$ para

z \geq 0

$z \ge 0$ e pegue

x = (z / β)^{1 / α}

$x = (z/\beta)^{1/\alpha}$ . Um pequeno número de iterações Newton-Raphson resultará em alta precisão. (Isso é tão simples que você pode implementá-lo em uma planilha.)

whuber

Aqui estão duas maneiras de calcular aproximações numéricas ao inverso do cdf, supondo que você tenha feito escolhas para m, d, α, β e p. Ambos os métodos exigem que você possa calcular F (x) para um determinado x, então ...

m = 1
d = 2
a = 1
b = 2
p = 0.5
F = function(x) (1 - ((1+x^m)^-d) * exp(-b*x^a))  / 
    (1 - (p*(1+x^m)^-d) * exp(-b*x^a))

Método 1

Para calcular InvF (a), resolva a equação F (x) = a

InvF1 = function(a) uniroot(function(x) F(x) - a, c(0,10))$root
InvF1(0.5)
[1] 0.1038906
F(InvF1(0.5))
[1] 0.4999983

Método 2

Avalie y = F (x) para um intervalo de x e, em seguida, ajuste uma curva a x em função de y.

x = c(seq(0,3, 0.001), seq(3.1,10,0.1))
y = F(x)
InvF2 = approxfun(y, x)

InvF2(0.5)
[1] 0.1038916
F(InvF2(0.5))
[1] 0.5000011

Você pode aumentar a precisão InvF2usando uma amostragem mais densa de x, particularmente para pequenos valores de x.

G5W
fonte

Gerando amostra aleatória a partir de Cd inverso sem forma fechada

Respostas:

Método 1

Método 2