A variação de uma soma é igual à soma das variações?

É (sempre) verdade que

$$\mathrm{Var}\left(\sum\limits_{i=1}^m{X_i}\right) = \sum\limits_{i=1}^m{\mathrm{Var}(X_i)} \>?$$

A resposta para sua pergunta é "Às vezes, mas não em geral".

Para ver isso sejam variáveis ​​aleatórias (com variações finitas). Então,$X_1, ..., X_n$

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) - \left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2$$

Agora observe que , o que fica claro se você pense no que você está fazendo ao calcular manualmente. Portanto,$(\sum_{i=1}^{n} a_i)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_i a_j$$(a_1+...+a_n) \cdot (a_1+...+a_n)$

$$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$$

similarmente,

$$\left[ E\left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) \right]^2 = \left[ \sum_{i=1}^{n} E(X_i) \right]^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i) E(X_j)$$

tão

$${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} \big( E(X_i X_j)-E(X_i) E(X_j) \big) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j)$$

pela definição de covariância.

Agora, com relação A variação de uma soma é igual à soma das variações? :

• Se as variáveis ​​não estiverem correlacionadas, sim : isto é, para , então${\rm cov}(X_i,X_j)=0$$i\neq j$

  $${\rm var} \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_j) = \sum_{i=1}^{n} {\rm cov}(X_i, X_i) = \sum_{i=1}^{n} {\rm var}(X_i)$$

• Se as variáveis ​​estiverem correlacionadas, não, não em geral : por exemplo, suponha que sejam duas variáveis ​​aleatórias, cada uma com variação e que . Então , para que a identidade falhe.$X_1, X_2$$\sigma^2$${\rm cov}(X_1,X_2)=\rho$$0 < \rho <\sigma^2$${\rm var}(X_1 + X_2) = 2(\sigma^2 + \rho) \neq 2\sigma^2$

• mas é possível para certos exemplos : suponha que tenham matriz de covariância então$X_1, X_2, X_3$

  $$\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0.4 &-0.6 \\ 0.4 & 1 & 0.2 \\ -0.6 & 0.2 & 1 \\ \end{array} \right)$$ ${\rm var}(X_1+X_2+X_3) = 3 = {\rm var}(X_1) + {\rm var}(X_2) + {\rm var}(X_3)$

Portanto, se as variáveis ​​não estão correlacionadas , a variação da soma é a soma das variações, mas o inverso não é verdadeiro em geral.

$$\text{Var}\bigg(\sum_{i=1}^m X_i\bigg) = \sum_{i=1}^m \text{Var}(X_i) + 2\sum_{i\lt j} \text{Cov}(X_i,X_j).$$

Portanto, se as covariâncias forem médias a , o que seria uma conseqüência se as variáveis ​​não forem correlacionadas aos pares ou se forem independentes, a variação da soma é a soma das variações.$0$

Um exemplo em que isso não é verdade: Let . Deixe . Então .$\text{Var}(X_1)=1$$X_2 = X_1$$\text{Var}(X_1 + X_2) = \text{Var}(2X_1)=4$

Eu só queria adicionar uma versão mais sucinta da prova fornecida pela Macro, para que seja mais fácil ver o que está acontecendo. $\newcommand{\Cov}{\text{Cov}}\newcommand{\Var}{\text{Var}}$

Observe que, já que$\Var(X) = \Cov(X,X)$

Para quaisquer duas variáveis ​​aleatórias , temos:$X,Y$

$$\begin{align} \Var(X+Y) &= \Cov(X+Y,X+Y) \\ &= E((X+Y)^2)-E(X+Y)E(X+Y) \\ &\text{by expanding,} \\ &= E(X^2) - (E(X))^2 + E(Y^2) - (E(Y))^2 + 2(E(XY) - E(X)E(Y)) \\ &= \Var(X) + \Var(Y) + 2(E(XY)) - E(X)E(Y)) \\ \end{align}$$ Portanto, em geral, a variação da soma de duas variáveis ​​aleatórias não é a soma das variações. No entanto, se são independentes, então , e temos .$X,Y$$E(XY) = E(X)E(Y)$$\Var(X+Y) = \Var(X) + \Var(Y)$

Observe que podemos produzir o resultado para a soma de variáveis ​​aleatórias por uma simples indução.$n$

Sim, se cada par de não estiver correlacionado, isso é verdade.$X_i$

Veja a explicação na Wikipedia