Erro ao estimar o tamanho de um conjunto?

Suponha que tenhamos um conjunto A e um subconjunto B. Se conhecemos | A |, podemos calcular | B | encontrando a probabilidade p de que um elemento escolhido uniformemente aleatoriamente de A pertença a B. Especificamente | A | p = | B |.

Suponha que geremos n elementos de A uniformemente de forma aleatória e use esses dados para estimar p (número de elementos em B dividido por n) e, portanto, estimar | B |.

Quão confiável é essa estimativa? Ou seja, como podemos calcular o erro?

Como uma questão paralela, existe um nome para esta técnica? (parece ser uma versão matemática da técnica de marcar e recuperar )

Você está estimando proporções. Para concretizar, imagine que A é a população de eleitores e B é o conjunto de eleitores que votam em um candidato em particular. Assim, p seria a porcentagem de eleitores que votariam nesse candidato. Deixei:

$\pi$ ser a verdadeira porcentagem de pessoas que votariam no candidato

Em outras palavras:

$\pi = \frac{|B|}{|A|}$

Então cada uma de suas amostras é um teste bernoulli com probabilidade $\pi$ou de forma equivalente, você pode imaginar que cada uma de suas amostras é uma pesquisa de potenciais eleitores, perguntando se eles votariam no candidato. Assim, o MLE de$\pi$ É dado por:

$p = \frac{n_B}{n}$

Onde

$n_B$ é o número de pessoas que disseram que votariam no candidato ou o número de elementos que pertencem ao conjunto B na sua amostra de tamanho $n$.

O erro padrão para sua estimativa é:

$\sqrt{\frac{\pi (1-\pi)}{n}}$

O acima pode ser aproximado usando o MLE para $\pi$ ou seja, por:

$\sqrt{\frac{p (1-p)}{n}}$