A diferença entre dois rv simétricos também tem uma distribuição simétrica?

Se eu tenho duas distribuições simétricas diferentes (com relação à mediana) e , a diferença também é uma distribuição simétrica (com relação à mediana)? $X$ $Y$ $X-Y$

distributions median Alessio93
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A distribuição de não é uma "diferença entre duas distribuições", é a distribuição da diferença entre variáveis aleatórias distribuídas simetricamente; A diferença nas distribuições seria ; que não é uma distribuição; da mesma forma, uma diferença de pdfs não seria um pdf ... por favor, altere a descrição do seu título

X - Y

$X-Y$

F_{X} (t) - F_{Y} (t)

$F_X(t)-F_Y(t)$

Glen_b -Reinstate Monica 15/17/17

@Glen_b: editei o título do OP para dizer isso, mas no futuro, vá em frente e edite você mesmo. Coloquialmente, acho que todo mundo entendeu o que o OP significava.

SMCI

@smci Na verdade, optei por pedir ao OP para fazê-lo, em vez de fazê-lo por um motivo (se você verificar meu perfil, verá que tenho mais de 3100 postagens editadas - eu entendo as regras gerais sobre edição). Obrigado por ajudar, no entanto. Também acho que um pouco mais de cuidado em expressar o que se entende resolveria uma fração substancial das perguntas dos novatos no local; e acho que a clareza é especialmente importante em um título.

Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:

Let e ser simétrica em PDF sobre medianas e respectivamente. Enquanto e são independentes, a distribuição de probabilidade da diferença é a convolução de e , ou seja, $X \sim f(x)$ $Y \sim g(y)$ $a$ $b$ $X$ $Y$ $Z = X - Y$ $X$ $-Y$

p (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + y) g (- y) d y,

$p(z) = \int_{-\infty}^\infty f(z + y) g(-y) dy,$

onde é simplesmente o PDF sobre com mediana $h(y) = g(-y)$ $-Y$ $-b.$

Intuitivamente, esperamos que o resultado seja simétrico sobre então vamos tentar isso. $a - b$

\begin{aligned} p (a - b - z) & = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - b - z + y) g (- y) d y \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (a - (z + v)) g (v - b) d v \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (z + v) g (- v) d v \\ = p (z) . \end{aligned}

$\begin{split} p(a - b - z) &= \int_{-\infty}^\infty f(a - b - z + y) g(-y) dy \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(a - (z + v)) g(v-b) dv \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(z + v) g(-v) dv \\ &= p(z). \end{split}$

Na segunda linha, usei a substituição na integral. Na terceira linha, usei tanto a simetria de sobre como de sobreIsso prova que é simétrico em relação se é simétrico em relação e é simétrico em relação a $v = b - y$ $f(x)$ $a$ $g(-y)$ $-b.$ $p(z)$ $a - b$ $f(x)$ $a$ $g(y)$ $b.$

Se e não fossem independentes e fossem simplesmente distribuições marginais, precisaríamos conhecer a distribuição conjunta,Então, na integral, teríamos que substituir porNo entanto, apenas porque as distribuições marginais são simétricas, isso não implica que a distribuição conjunta seja simétrica em relação a cada um de seus argumentos. Portanto, você não pode aplicar um raciocínio semelhante. $X$ $Y$ $f$ $g$ $X,Y \sim h(x,y).$ $f(z + y) g(-y)$ $h(z + y, -y).$

Bridgeburners
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Isso vai depender da relação entre e , aqui está um exemplo de contador em que e são simétricos, mas não é: $x$ $y$ $x$ $y$ $x-y$

x = [- 4, - 2, 0, 2, 4]

$x=[-4, -2, 0, 2, 4]$

y = [- 1, - 3, 0, 1, 3]

$y=[-1, -3, 0, 1, 3]$

x - y = [- 3, 1, 0, 1, 1]

$x-y = [-3, 1, 0, 1, 1]$

Portanto, aqui a mediana de não é a mesma que a diferença nas medianas e não é simétrica. $x-y$ $x-y$

Editar

Isso pode ser mais claro na notação @ whuber:

Considere a distribuição uniforme discreta em que e estão relacionados, de modo que você só pode selecionar um dos seguintes pares: $x$ $y$

(x, y) = (- 4, - 1); (- 2, - 3); (0, 0); (2, 1); (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1); (-2,-3); (0,0); (2,1); (4,3)$

Se você insistir em pensar em uma distribuição conjunta completa, considere o caso em que pode assumir qualquer um dos valores e pode assumir os valores e a combinação pode assumir qualquer um dos 25 pares. Mas a probabilidade dos pares indicados acima é de 16% cada e todos os outros pares possíveis têm probabilidade de 1% cada. A distribuição marginal de será discreta e uniforme, com cada valor com 20% de probabilidade e, portanto, simétrica em relação à mediana de 0, o mesmo vale para . Tire uma amostra grande da distribuição conjunta e observe apenas ou apenas $x$ $(-4, -2, 0, 2, 4)$ $y$ $(-3, -1, 0, 1, 3)$ $x$ $y$ $x$ $y$ e você verá uma distribuição marginal uniforme (simétrica), mas faça a diferença e o resultado não será simétrico. $x-y$

Greg Snow
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Eu não entendo esse exemplo. Se pode ser igual a 4 e pode ser igual a, por exemplo, 1, deve ser capaz de ser 3, mas você não lista essa possibilidade. Talvez eu entenda mal o seu exemplo; quais são esses três vetores?

X

$X$

Y

$Y$

X - Y

$X-Y$

Ameba

x

$x$ e não são independentes no seu exemplo. Pense de , , e como sendo as funções de alguns variável aleatória quais índices para cada vector. Então, se , , e

y

$y$

x

$x$

y

$y$

x - y

$x-y$

i

$i$

i = 0

$i=0$

x = - 4

$x=-4$

y = - 1

$y=-1$

x - y = - 3

$x-y=-3$

Moormanly

Se você está considerando e não ser independente, então você está realmente vendo como um bivariada variável aleatória. Como tal, o que você demonstra é que os marginais simétricos não implicam que a distribuição conjunta seja simétrica. Essa é uma boa observação, mas a notação nesta resposta é confusa. Pode ser mais claro descrever os dados em uma notação bivariada como .

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

(x, y) = (- 4, - 1), (- 2, - 3), (0, 0), (2, 1), (4, 3)

$(x,y)=(-4,-1),(-2,-3),(0,0),(2,1),(4,3)$

whuber

@amoeba, Depende da relação entre e , se forem independentes ou fracamente dependentes, então sim, pode haver um caso como você diz, mas meu exemplo é uma forte dependência entre as 2 variáveis. Se X tivesse altura em polegadas e y estivesse em centímetros, é um valor possível e é um valor possível, mas não ao mesmo tempo para o mesmo objeto.

X

$X$

Y

$Y$

X = 10

$X=10$

Y = 1

$Y=1$

Greg Neve

Os comentários e a edição esclareceram o que você quis dizer. Obrigado.

Ameba

Você precisará assumir a independência entre X e Y para que isso ocorra em geral. O resultado segue diretamente, pois a distribuição de é uma convolução de funções simétricas, que também é simétrica. $X-Y$

Moormanly
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