Quais distribuições têm soluções em formato fechado para as estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros de uma amostra de observações independentes?
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Quais distribuições têm soluções em formato fechado para as estimativas de máxima verossimilhança dos parâmetros de uma amostra de observações independentes?
Sem qualquer perda apreciável de generalidade, podemos assumir que a densidade de probabilidade (ou massa) para qualquer observação x i (de n observações) é estritamente positiva, permitindo-nos escrevê-la como exponencial
para um vetor de parâmetro .
Igualar o gradiente da função de probabilidade do log a zero (que encontra pontos estacionários da probabilidade, entre os quais estarão todos os máximos globais interiores, se houver) fornece um conjunto de equações da forma
um para cada . Para qualquer um destes para ter uma solução pronta, nós gostaríamos de ser capaz de separar os x i termos dos q termos . (Tudo flui dessa idéia-chave, motivada pelo Princípio da Preguiça Matemática : faça o mínimo possível de trabalho; pense antes da computação; lide primeiro com as versões fáceis de problemas difíceis.) A maneira mais geral de fazer isso é pelas equações a forma
para funções conhecidas , τ j e α j , pois a solução é obtida resolvendo as equações simultâneas
para . Em geral, isso será difícil de resolver, mas desde que o conjunto de valores de ( n α j ( θ )forneça informações completas sobreθ, poderíamos simplesmente usar esse vetorno lugar deθ(generalizando assim a idéia de uma solução de "forma fechada", mas de uma maneira altamente produtiva). Nesse caso, a integração em relação aθjproduz
(onde representa todos os componentes de θ, exceto θ j ). Como o lado esquerdo é funcionalmente independente de θ j , devemos ter que τ j ( x ) = T ( x ) para alguma função fixa T ; que B não deve depender de θ ; e η j são derivadas de alguma função H ( θ ) e α j são derivadas de alguma outra função A , ambos funcionalmente independentes dos dados. De onde
As densidades que podem ser escritas dessa forma compõem a conhecida família Koopman-Pitman-Darmois , ou exponencial . Compreende famílias paramétricas importantes, contínuas e discretas, incluindo Gama, Normal, Qui-quadrado, Poisson, Multinomial e muitas outras .
Não sei se posso listar todos eles. O exponencial, o normal e o binômio vêm à mente e todos se enquadram na classe das famílias exponenciais. A família exponencial tem sua estatística suficiente no expoente e o mle é frequentemente uma boa função dessa estatística suficiente.
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