Como posso desenhar um valor aleatoriamente a partir de uma estimativa de densidade do kernel?

Tenho algumas observações e quero imitar a amostragem com base nessas observações. A partir do momento em que o CDF é capturado, o CDF é transferido para o CDF e o CDF é transferido para o CDF, o que significa que o CDF pode ser usado como um arquivo não-paramétrico, para facilitar a estimativa de um CDF a partir de observações limitadas. probabilidade usando distribuição uniforme e tomar o inverso do CDF com relação ao valor da probabilidade)

x = [randn(100, 1); rand(100, 1)+4; rand(100, 1)+8];
[f, xi] = ksdensity(x, 'Function', 'cdf', 'NUmPoints', 300);
cdf = [xi', f'];
nbsamp = 100;
rndval = zeros(nbsamp, 1);
for i = 1:nbsamp
    p = rand;
   [~, idx] = sort(abs(cdf(:, 2) - p));
   rndval(i, 1) = cdf(idx(1), 1);
end
figure(1);
hist(x, 40)
figure(2);
hist(rndval, 40)

Como mostrado no código, usei um exemplo sintético para testar meu procedimento, mas o resultado é insatisfatório, conforme ilustrado pelas duas figuras abaixo (a primeira é para as observações simuladas e a segunda figura mostra o histograma extraído do CDF estimado) :

Existe alguém que sabe onde está o problema? Agradeço antecipadamente.

Um estimador de densidade do kernel (KDE) produz uma distribuição que é uma mistura local da distribuição do kernel, portanto, para extrair um valor da estimativa de densidade do kernel, tudo o que você precisa fazer é: (1) extrair um valor da densidade do kernel e, em seguida, (2) selecione independentemente um dos pontos de dados aleatoriamente e adicione seu valor ao resultado de (1).

Aqui está o resultado desse procedimento aplicado a um conjunto de dados como o da pergunta.

O histograma à esquerda mostra a amostra. Para referência, a curva preta representa a densidade a partir da qual a amostra foi retirada. A curva vermelha representa o KDE da amostra (usando uma largura de banda estreita). (Não é um problema, ou mesmo inesperado, que os picos vermelhos sejam mais curtos que os pretos: o KDE espalha as coisas para que os picos fiquem mais baixos para compensar.)

O histograma à direita mostra uma amostra (do mesmo tamanho) do KDE. As curvas em preto e vermelho são as mesmas de antes.

Evidentemente, o procedimento usado para amostrar a partir da densidade funciona. Também é extremamente rápido: a Rimplementação abaixo gera milhões de valores por segundo a partir de qualquer KDE. Eu comentei bastante para ajudar na portabilidade para Python ou outras linguagens. O próprio algoritmo de amostragem é implementado na função rdenscom as linhas

rkernel <- function(n) rnorm(n, sd=width) 
sample(x, n, replace=TRUE) + rkernel(n)  

rkerneldesenha namostras de iid da função kernel enquanto sampledesenha namostras com substituição dos dados x. O operador "+" adiciona as duas matrizes de amostras componente por componente.

$K$$F_K$$\mathbf{x}=(x_1, x_2, \ldots, x_n)$

$X$$x_i$$1/n$$i$$Y$$X+Y$$x$$X$

como reivindicado.

#
# Define a function to sample from the density.
# This one implements only a Gaussian kernel.
#
rdens <- function(n, density=z, data=x, kernel="gaussian") {
  width <- z$bw                              # Kernel width
  rkernel <- function(n) rnorm(n, sd=width)  # Kernel sampler
  sample(x, n, replace=TRUE) + rkernel(n)    # Here's the entire algorithm
}
#
# Create data.
# `dx` is the density function, used later for plotting.
#
n <- 100
set.seed(17)
x <- c(rnorm(n), rnorm(n, 4, 1/4), rnorm(n, 8, 1/4))
dx <- function(x) (dnorm(x) + dnorm(x, 4, 1/4) + dnorm(x, 8, 1/4))/3
#
# Compute a kernel density estimate.
# It returns a kernel width in $bw as well as $x and $y vectors for plotting.
#
z <- density(x, bw=0.15, kernel="gaussian")
#
# Sample from the KDE.
#
system.time(y <- rdens(3*n, z, x)) # Millions per second
#
# Plot the sample.
#
h.density <- hist(y, breaks=60, plot=FALSE)
#
# Plot the KDE for comparison.
#
h.sample <- hist(x, breaks=h.density$breaks, plot=FALSE)
#
# Display the plots side by side.
#
histograms <- list(Sample=h.sample, Density=h.density)
y.max <- max(h.density$density) * 1.25
par(mfrow=c(1,2))
for (s in names(histograms)) {
  h <- histograms[[s]]
  plot(h, freq=FALSE, ylim=c(0, y.max), col="#f0f0f0", border="Gray",
       main=paste("Histogram of", s))
  curve(dx(x), add=TRUE, col="Black", lwd=2, n=501) # Underlying distribution
  lines(z$x, z$y, col="Red", lwd=2)                 # KDE of data

}
par(mfrow=c(1,1))

Você colhe amostras do CDF primeiro, invertendo-o. O CDF inverso é chamado de função quantil; é um mapeamento de [0,1] para o domínio do VD. Em seguida, você amostra RVs uniformes aleatórios como percentis e os passa para a função quantil para obter uma amostra aleatória dessa distribuição.

Aqui, também quero postar o código do Matlab seguindo a idéia descrita pelo whuber, para ajudar aqueles que estão mais familiarizados com o Matlab do que com o R.

x = exprnd(3, [300, 1]);
[~, ~, bw] = ksdensity(x, 'kernel', 'normal', 'NUmPoints', 800);

k = 0.25; % control the uncertainty of generated values, the larger the k the greater the uncertainty
mstd = bw*k;
rkernel = mstd*randn(300, 1);
sampleobs = randsample(x, 300, true);
simobs = sampleobs(:) + rkernel(:);

figure(1);
subplot(1,2,1);
hist(x, 50);title('Original sample');
subplot(1,2,2);
hist(simobs, 50);title('Simulated sample');
axis tight;

O seguinte é o resultado:

Diga-me se alguém encontrar algum problema com o meu entendimento e o código. Obrigado.

Sem olhar muito de perto para sua implementação, não obtenho completamente seu procedimento de indexação no ICDF. Eu acho que você tira do CDF, não é inverso. Aqui está a minha implementação:

import sys
sys.path.insert(0, './../../../Python/helpers')
import numpy as np
import scipy.stats as stats
from sklearn.neighbors import KernelDensity

def rugplot(axis,x,color='b',label='draws',shape='+',alpha=1):
    axis.plot(x,np.ones(x.shape)*0,'b'+shape,ms=20,label=label,c=color,alpha=alpha);
    #axis.set_ylim([0,max(axis.get_ylim())])

def PDF(x):
    return 0.5*(stats.norm.pdf(x,loc=6,scale=1)+ stats.norm.pdf(x,loc=18,scale=1));

def CDF(x,PDF):
    temp = np.linspace(-10,x,100)
    pdf = PDF(temp);
    return np.trapz(pdf,temp);

def iCDF(p,x,cdf):
    return np.interp(p,cdf,x);

res = 1000;
X = np.linspace(0,24,res);
P = np.linspace(0,1,res)
pdf  = np.array([PDF(x) for x in X]);#attention dont do [ for x in x] because it overrides original x value
cdf  = np.array([CDF(x,PDF) for x in X]);
icdf = [iCDF(p,X,cdf) for p in P];

#draw pdf and cdf
f,(ax1,ax2) = plt.subplots(1,2,figsize=(18,4.5));
ax1.plot(X,pdf, '.-',label = 'pdf');
ax1.plot(X,cdf, '.-',label = 'cdf');
ax1.legend();
ax1.set_title('PDF & CDF')

#draw inverse cdf
ax2.plot(cdf,X,'.-',label  = 'inverse by swapping axis');
ax2.plot(P,icdf,'.-',label = 'inverse computed');
ax2.legend();
ax2.set_title('inverse CDF');

#draw from custom distribution
N = 100;
p_uniform = np.random.uniform(size=N)
x_data  = np.array([iCDF(p,X,cdf) for p in p_uniform]);

#visualize draws
a = plt.figure(figsize=(20,8)).gca();
rugplot(a,x_data);

#histogram
h = np.histogram(x_data,bins=24);
a.hist(x_data,bins=h[1],alpha=0.5,normed=True);