Que formas distributivas produzem a “expectativa pitagórica”?

Sejam $X \sim \text{Dist}(\theta_X)$ e variáveis ​​aleatórias contínuas independentes geradas a partir da mesma forma de distribuição não especificada, mas com tolerância para diferentes valores de parâmetros. Estou interessado em encontrar um formulário de distribuição paramétrica para o qual a seguinte probabilidade de amostragem seja válida para todos os valores de parâmetros permitidos:$Y \sim \text{Dist}(\theta_Y)$

$$\mathbb{P}(X > Y| \theta_X, \theta_Y) = \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}.$$

Minha pergunta: alguém pode me dizer uma forma distributiva contínua para a qual isso vale? Existem condições gerais (não triviais) que levam a isso?

Meus pensamentos preliminares: se você multiplicar ambos os parâmetros por qualquer constante diferente de zero, a probabilidade permanecerá inalterada; portanto, faz sentido que seja algum tipo de parâmetro de escala.$\theta$

Se tomarmos duas variáveis ​​aleatórias exponenciais obtemos que P ( X > Y | Y = y ) = exp { - θ X y } e E Y [ exp { - θ X Y } ] = ∫ ∞ 0 exp { - θ X y

$$X\sim\mathcal{E}(\theta_X)\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y)$$ $$\mathbb{P}(X>Y|Y=y)=\exp\{-\theta_X y\}$$ Agora, seX∼E(θ - 2 X $$\mathbb{E}^Y[\exp\{-\theta_X Y\}]=\int_0^\infty \exp\{-\theta_X y\}\,\theta_Y\exp\{-\theta_Y y\}\text{d}y=\dfrac{\theta_Y}{\theta_X+\theta_Y}$$ então P ( X > Y ) = θ 2 $$X\sim\mathcal{E}(\theta_X^{-2})\qquad X\sim\mathcal{E}(\theta_Y^{-2})$$ $$\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}$$

$f$$X$$Y$

$$\int_0^\infty z\, f(z)\, f(\tau z) \,\text{d}z = \frac{1}{(1+\tau)^2}$$

$$\mathbb{P}(X>Y)=\mathbb{P}(X^\alpha>Y^\alpha)$$ $\alpha>0$ $$X' = \phi(X) \qquad Y' = \phi(Y)$$ $\phi$$X,Y$ $$\mathbb{P}(X'>Y') =\mathbb{P}(\phi(X)>\phi(Y))=\mathbb{P}(X>Y)=\dfrac{\theta_X^2}{\theta_X^2+\theta_Y^2}.$$

$X$$\left( \alpha,\beta_1 \right)$$Y$$\left( \alpha, \beta_2 \right)$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\beta_1^\alpha}{\beta_1^\alpha + \beta_2^\alpha}$$

Isso pode ser obtido seguindo a mesma abordagem dada na resposta de Xi'an.

$\alpha=2$$X$$Y$$X$$\theta_X$$Y$$\theta_Y,$

$$P \left[ X > Y \right]= \frac{\theta_X^2}{\theta_X^2 + \theta_Y^2}$$