Você poderia reformular sua pergunta como "uma hiperesfera é o conjunto de pontos a uma distância constante de um determinado ponto" [Wikipedia]. "Em matemática, uma bola é o espaço delimitado por uma esfera." [Wikipedia]
Como apontado por @ Xi'an, a pergunta do OP é na verdade sobre uma distribuição uniforme na bola dimensional do raio , o conjunto de pontos à distância não mais que do centro da bola e não sobre um uniforme distribuição na hiperesfera dimensional que é a superfície da bola (o conjunto de pontos à distância exatamente do centro). Observe que está assumindo que a densidade conjunta das variáveis aleatórias tem valor constante ondenrrnrnV- 1Vé o volume da bola. Isso não é o mesmo que assumir que a distância do ponto aleatório é distribuída uniformemente em (ou para aqueles que não desejam incluir a superfície da hiperesfera).[ 0 , r ][ 0 , r )
Quase todo o volume de uma bola dimensional fica perto da superfície. Isso ocorre porque é proporcional à ésima potência do raio da bola e é uma função que aumenta muito rapidamente. Mesmo no espaço , do volume fica mais próximo da superfície do que da origem, e essa fração se aproxima cada vez mais de à medida que aumenta. Alternando o cálculo, para uma proporção fixa , digamos , do volume está em uma concha de raio internonVnrn378= 1 -(1 12)31 1nαα=0.95100α%α−−√nr raio externo e, portanto, , a espessura relativa do shell, diminui para com o aumento de para qualquer opção de .r1−α−−√n0nα∈(0,1)
Você quer dizer bola? Uma hiperesfera é o conjunto de pontos a uma distância constante de um determinado ponto.
Xian
11
Dilip Sarwate, o OP, também perguntou explicitamente sobre a origem da hiperesfera; enquanto sua resposta aborda um relacionamento com a superfície, com base no volume, como sua resposta aborda a uniformidade em relação à distância da origem (ou seja, quão "próxima") é a origem? (Isso pode ser feito implicitamente, mas talvez sua resposta também possa explicitar isso).
Alexis
11
Algum ponto de vista alternativo, mais explícito, que poderia ajudar a entender a pergunta / resposta estaria expressando o relacionamento para a função de densidade dos pontos situados dentro dos raios r−12dr e r+12dr
f(r)=nRnrn−1
com n e Ra dimensão e tamanho da bola. Então vemos que a densidade é maior para valores maiores der e com maior nessa diferença se torna mais dramática.
Respostas:
Como apontado por @ Xi'an, a pergunta do OP é na verdade sobre uma distribuição uniforme na bola dimensional do raio , o conjunto de pontos à distância não mais que do centro da bola e não sobre um uniforme distribuição na hiperesfera dimensional que é a superfície da bola (o conjunto de pontos à distância exatamente do centro). Observe que está assumindo que a densidade conjunta das variáveis aleatórias tem valor constante onden r r n r n V- 1 V é o volume da bola. Isso não é o mesmo que assumir que a distância do ponto aleatório é distribuída uniformemente em (ou para aqueles que não desejam incluir a superfície da hiperesfera).[ 0 , r ] [ 0 , r )
Quase todo o volume de uma bola dimensional fica perto da superfície. Isso ocorre porque é proporcional à ésima potência do raio da bola e é uma função que aumenta muito rapidamente. Mesmo no espaço , do volume fica mais próximo da superfície do que da origem, e essa fração se aproxima cada vez mais de à medida que aumenta. Alternando o cálculo, para uma proporção fixa , digamos , do volume está em uma concha de raio internon V n rn 3 78= 1 -(1 12)3 1 1 n α α=0.95 100α% α−−√nr raio externo e, portanto, , a espessura relativa do shell, diminui para com o aumento de para qualquer opção de .r 1−α−−√n 0 n α∈(0,1)
fonte