Onde estão mais pontos em uma bola de alta dimensão uniformemente distribuída?

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Eles devem estar perto do meio (origem) ou fechar sua superfície?

JOX
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Você poderia reformular sua pergunta como "uma hiperesfera é o conjunto de pontos a uma distância constante de um determinado ponto" [Wikipedia]. "Em matemática, uma bola é o espaço delimitado por uma esfera." [Wikipedia]
Xian
Intimamente relacionados: stats.stackexchange.com/questions/99171/…
Sycorax diz Reinstate Monica

Respostas:

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Como apontado por @ Xi'an, a pergunta do OP é na verdade sobre uma distribuição uniforme na bola dimensional do raio , o conjunto de pontos à distância não mais que do centro da bola e não sobre um uniforme distribuição na hiperesfera dimensional que é a superfície da bola (o conjunto de pontos à distância exatamente do centro). Observe que está assumindo que a densidade conjunta das variáveis ​​aleatórias tem valor constante ondenrrn rnV1Vé o volume da bola. Isso não é o mesmo que assumir que a distância do ponto aleatório é distribuída uniformemente em (ou para aqueles que não desejam incluir a superfície da hiperesfera).[0,r][0,r)

Quase todo o volume de uma bola dimensional fica perto da superfície. Isso ocorre porque é proporcional à ésima potência do raio da bola e é uma função que aumenta muito rapidamente. Mesmo no espaço , do volume fica mais próximo da superfície do que da origem, e essa fração se aproxima cada vez mais de à medida que aumenta. Alternando o cálculo, para uma proporção fixa , digamos , do volume está em uma concha de raio internonVnrn378=1(12)31nαα=0.95100α%αnr raio externo e, portanto, , a espessura relativa do shell, diminui para com o aumento de para qualquer opção de .r1αn0nα(0,1)

Dilip Sarwate
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Você quer dizer bola? Uma hiperesfera é o conjunto de pontos a uma distância constante de um determinado ponto.
Xian
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Dilip Sarwate, o OP, também perguntou explicitamente sobre a origem da hiperesfera; enquanto sua resposta aborda um relacionamento com a superfície, com base no volume, como sua resposta aborda a uniformidade em relação à distância da origem (ou seja, quão "próxima") é a origem? (Isso pode ser feito implicitamente, mas talvez sua resposta também possa explicitar isso).
Alexis
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Algum ponto de vista alternativo, mais explícito, que poderia ajudar a entender a pergunta / resposta estaria expressando o relacionamento para a função de densidade dos pontos situados dentro dos raios r12dr e r+12dr
f(r)=nRnrn1
com n e Ra dimensão e tamanho da bola. Então vemos que a densidade é maior para valores maiores der e com maior nessa diferença se torna mais dramática.
Sextus Empiricus