O princípio da indiferença se aplica ao paradoxo de Borel-Kolmogorov?

15

Considere a solução de Jaynes para o paradoxo de Bertrand usando o princípio da indiferença . Por que um argumento semelhante não se aplica ao paradoxo de Borel-Kolmogorov ?

Há algo errado em argumentar que, como o problema não especifica uma orientação para a esfera, girar a esfera não deve afetar a distribuição resultante alcançada pelo processo de limitação escolhido?

Neil G
fonte
4
Dado que este é um argumento não matemático, você sempre pode usá-lo! E sempre encontre alguém argumentando contra isso ...!
Xian
4
Também não acho que o argumento de Jaynes encerre o debate sobre o paradoxo de Bertrand: há um número infinito de maneiras de traçar linhas aleatoriamente, como discutido neste post .
Xian
3
Você notou como esse artigo da Wikipedia cita Jaynes sobre o paradoxo da BK? "... o termo 'grande círculo' é ambíguo até especificarmos a operação limitadora para produzi-lo. O argumento da simetria intuitiva pressupõe o limite equatorial; ainda assim, uma fatia de laranja pode pressupor a outra." Parece-me que isso responde à sua pergunta.
whuber
@ whuber: Entendi que isso significava que o questionador tinha que especificar o processo de limitação. Não achei que isso significasse que o princípio da indiferença pudesse ser usado para forçar uma escolha única no processo de limitação. É assim que você vê a declaração?
31412 Neil G
11
@whuber: risos :) Ok, bem, ainda estou tentando entender. Jaynes escreve que o princípio da entropia máxima e os anteriores de Jeffreys são extensões do princípio da indiferença, e esses são bastante convincentes para mim. Então, parece haver algo interessante aqui.
31412 Neil G

Respostas:

7

Por um lado, temos uma compreensão pré-teórica e intuitiva da probabilidade. Por outro, temos a axiomatização formal de probabilidade de Kolomogorov.

O princípio da indiferença pertence ao nosso entendimento intuitivo da probabilidade. Consideramos que qualquer formalização da probabilidade deve respeitá-la. No entanto, como você observa, nossa teoria formal da probabilidade nem sempre faz isso, e o paradoxo de Borel-Komogorov é um dos casos em que não o faz.

Então, eis o que eu acho que você realmente está perguntando: Como resolvemos o conflito entre esse atraente princípio intuitivo e nossa moderna teoria da probabilidade da teoria da medida?

Um poderia apoiar a nossa teoria formal, como a outra resposta e os comentadores. Eles afirmam que, se você escolher o limite do equador no paradoxo de Borel-Kolmogorov de uma certa maneira, o princípio da indiferença não se mantém e nossas intuições estão incorretas.

Eu acho isso insatisfatório. Acredito que, se nossa teoria formal não capta essa intuição básica e obviamente verdadeira, ela é deficiente. Deveríamos procurar modificar a teoria, não rejeitar esse princípio básico.

Alan Hájek, um filósofo da probabilidade, assumiu essa posição e argumenta convincentemente a favor neste artigo . Um artigo mais longo dele sobre probabilidade condicional pode ser encontrado aqui , onde ele também discute alguns problemas clássicos como o paradoxo dos dois envelopes.

Batata
fonte
1

Não vejo o objetivo do "princípio da indiferença". A resposta do artigo da Wikipedia é melhor: "As probabilidades podem não ser bem definidas se o mecanismo ou método que produz a variável aleatória não estiver claramente definido". Em outras palavras, sem nos restringirmos a questões de probabilidade, "uma pergunta ambígua não tem uma única resposta inequívoca".

Emil Friedman
fonte
Obrigado pela sua resposta. Você leu a defesa de Jaynes do princípio da indiferença? E. Jaynes, "Onde estamos na Entropia Máxima?", R. Levine e M. Tribus, Eds. The MIT Press, 1979, pp. 15–118.
Neil G