Um pdf é geralmente escrito como , onde o minúsculo é tratado como uma realização ou resultado da variável aleatória que possui esse pdf. Da mesma forma, um cdf é escrito como , que tem o significado . Entretanto, em algumas circunstâncias, como a definição da função score e essa derivação de que o cdf é distribuído uniformemente , parece que a variável aleatória está sendo conectada ao seu próprio pdf / cdf; ao fazer isso, obtemos uma nova variável aleatória oux X F X ( x ) P ( X < x ) Z = F X ( X ). Acho que não podemos mais chamar isso de pdf ou cdf, já que agora é uma variável aleatória em si mesma e, no último caso, a "interpretação" parece um absurdo para mim.
Além disso, no último caso acima, não tenho certeza de entender a afirmação "o cdf de uma variável aleatória segue uma distribuição uniforme". O cdf é uma função, não uma variável aleatória e, portanto , não possui uma distribuição. Em vez disso, o que tem uma distribuição uniforme é a variável aleatória transformada usando a função que representa seu próprio cdf, mas não vejo por que essa transformação é significativa. O mesmo vale para a função score, onde estamos inserindo uma variável aleatória na função que representa sua própria probabilidade de log.
Venho destruindo meu cérebro há semanas tentando encontrar um significado intuitivo por trás dessas transformações, mas estou presa. Qualquer visão seria muito apreciada!
Respostas:
Como você diz, qualquer função (mensurável) de uma variável aleatória é ela própria uma variável aleatória. É mais fácil pensar em e F ( x ) como "qualquer função antiga". Eles só têm algumas propriedades agradáveis. Por exemplo, se X é um RV exponencial padrão, não há nada de particularmente estranho na variável aleatória Y = 1 - e - X Acontece que Y = F X ( X ) . O fato de Y ter uma distribuição uniforme (dado que Xf( X ) F( X ) X
Qual é claramente o CDF de uma variável aleatória . Nota: Esta versão da prova pressupõe que F X ( x ) é estritamente crescente e contínuo, mas não é muito difícil mostrar uma versão mais geral.você( 0 , 1 ) FX( X )
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Uma transformação de uma variável aleatória por uma função mensurável T : X ⟶ Y é outra variável aleatória Y = T ( X ) cuja distribuição é dada pela transformação de probabilidade inversa P ( Y ∈ A ) = P ( X ∈ { x ;X T: X⟶ Y Y= T( X)
para todos os conjuntos A tais que { x ;
Essa propriedade se aplica ao caso especial em que é o cdf da variável aleatória X : Y = F X ( X ) é uma nova variável aleatória que realiza suas realizações em [ 0 , 1 ] . Por acaso, Y é distribuído como um U uniforme ( [ 0 , 1 ] ) quando F X é contínuo. (Se F XFX: X⟶ [ 0 , 1 ] X Y= FX( X) [ 0 , 1 ] Y você( [ 0 , 1 ] ) FX FX é descontínuo, o intervalo de não é mais [ 0 , 1 ] . O que é sempre o caso, é que quando L é um Uniforme L ( [ 0 , 1 ] ) , em seguida, F - X ( L ) tem a mesma distribuição que X , onde M - X indica o inverso generalizado de F X . Qual é uma maneira formal de (a) entender variáveis aleatórias como transformações mensuráveis de umY= FX( X) [ 0 , 1 ] você você( [ 0 , 1 ] ) F-X( U) X F-X FX uma vez que X ( ω ) = F - X ( ω ) é uma variável aleatória com o cdf F X e (b)gera variáveis aleatórias apartir de uma determinada distribuição com o cdf F X. )ω ∈ Ω X( ω ) = F-X( ω ) FX FX
Para entender o paradoxo de , assuma a representação F X ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∫ x 0 d F X ( x ) = ∫ x 0 f X ( x )P (X≤ X) se d λ é a medida dominante ef x X a densidade correspondente. Em seguida,
F X ( X ) = ∫ X 0 d F X ( x ) = ∫ X 0 f X ( x )
[Resposta digitada enquanto @whuber e @knrumsey estavam digitando suas respectivas respostas!]
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