A estacionariedade é preservada sob uma combinação linear?

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Imagine que temos dois processos de séries temporais, que são estacionários, produzindo: xt,yt .

É zt=αxt+βyt , α,βR também estacionária?

Qualquer ajuda seria apreciada.

Eu diria que sim, uma vez que tem uma representação MA.

Um velho no mar.
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limtzt=αlimtxt+βlimtyt
Relacionado a alguns aspectos: Observe na análise numérica que você usa o que é chamado de pré-condicionador (uma transformação linear específica) para obter estabilidade, por isso duvido que a resposta seja sim.
Surb

Respostas:

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Talvez surpreendentemente, isso não é verdade. (A independência das duas séries temporais tornará realidade, no entanto.)

Entendo "estável" como estacionário, porque essas palavras parecem ser usadas de forma intercambiável em milhões de resultados de pesquisa, incluindo pelo menos um em nosso site .

Para um contra-exemplo, seja uma série temporal estacionária não constante, para a qual todo é independente de , e cujas distribuições marginais são simétricas em torno de . DefinirX t X s s t , 0XXtXsst,0

Yt=(1)tXt.

![Figure 1: plots of X, Y, and (X+Y)/2 over time

Esses gráficos mostram partes das três séries temporais discutidas neste post. foi simulado como uma série de desenhos independentes de uma distribuição normal padrão.X

Para mostrar que é estacionária, que precisa de demonstrar que a distribuição conjunta de ( Y s + t 1 , Y s + t 2 , ... , Y s + t n ) para qualquer t 1 < t 2 < < t n faz não depende de s . Mas isso decorre diretamente da simetria e independência do X t . Y(Ys+t1,Ys+t2,,Ys+tn)t1<t2<<tnsXt

Figure showing some cross-scatterplots of Y

Esses gráficos de dispersão defasados ​​(para uma sequência de 512 valores de ) ilustram a afirmação de que as distribuições bivariadas de Y são as esperadas: independentes e simétricas. (Um "gráfico de dispersão defasado" exibe os valores de Y t + s contra Y t ; valores de s = 0 , 1 , 2 são mostrados.)YYYt+sYts=0,1,2

No entanto, a escolha de , temosα=β=1/2

αXt+βYt=Xt

para mesmo outra format

αXt+βYt=0.

Uma vez que é não constante, obviamente, estas duas expressões têm distribuições diferentes para qualquer t e t + 1 , onde a série ( X + Y ) / 2 não é estacionária. As cores na primeira figura destacam essa não estacionariedade em ( X + Y ) / 2 , distinguindo os valores zero dos demais.Xtt+1(X+Y)/2(X+Y)/2

whuber
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A independência das duas séries temporais é obviamente uma condição suficiente. Mas a exigência mais fraca de estacionariedade conjunta também não seria suficiente?
precisa saber é o seguinte
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Sim, está certo @Dilip. Obrigado por essa observação.
whuber
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Considere o processo bidimensional

wt=(xt,yt)

Se for estritamente estacionário, ou, em alternativa, se os processos e ( y t ) são conjuntamente estritamente estacionário , em seguida, um processo formado por qualquer função mensurável f : = f ( x t , y t ) , f : R 2R também será estritamente estacionário.(xt)(yt)f:=f(xt,yt),f:R2R

No exemplo do @ whuber, temos

wt=(xt,(1)txt)

Para examinar se esta é estritamente estacionário, temos que primeiro obter sua distribuição de probabilidade. Suponha que as variáveis ​​sejam absolutamente contínuas. Por algum c R , temoswtcR

Prob(Xtc,(1)tXtc)={Prob(Xtc,Xtc)t is evenProb(Xtc,Xtc)t is odd

={Prob(Xtc)t is evenProb(cXtc)t is odd

Prob(Xtc,(1)tXtc)={Prob(Xtc)t is evenProb(|Xt|c)t is odd

Seguindo o exemplo do whuber, as duas ramificações são distribuições de probabilidade diferentes porque tem uma distribuição simétrica em torno de zero. xt

Agora, para examinar a estacionariedade estrita, altere o índice por um número inteiro . Nós temosk>0

Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc)={Prob(Xt+kc)t+k is evenProb(|Xt+k|c)t+k is odd

Para estacionariedade estrita, devemos ter

Prob(Xtc,(1)tXtc)=Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc),t,k

t,ktkt+k

Prob(Xtc,(1)tXtc)=Prob(Xtc)

enquanto

Prob(Xt+kc,(1)tXt+kc)=Prob(|Xt+k|c)=Prob(|Xt|c)

f(xt,yt)

I have to point out that the dependence between xt and yt, is a necessary but not a sufficient condition for the loss of joint strict stationarity. It is the additional assumption of dependence of yt on the index that does the job.

Consider

qt=(xt,θxt),θR

If one does the previous work for (qt) one will find that joint strict stationarity holds here.

This is good news because for a process to depend on the index and be strictly stationary is not among the modelling assumptions we need to make very often. In practice therefore, if we have marginal strict stationarity, we expect also joint strict stationarity even in the presence of dependence (although we should of course check.)

Alecos Papadopoulos
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I would say yes, since it has an MA representation.

One observation. I think that having a MA representation implies weak stationarity, not sure if it implies strong stationarity.

oneloop
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Re "Não consigo imaginar": consulte minha resposta para um contra-exemplo.
whuber
oneloop, remove the part related to strict stationarity, and just leave that related to weak stationarity. I'll give you a +1, since it also helped me. ;)
An old man in the sea.
@Anoldmaninthesea. Like this?
Oneloop 30/03/19
yes, like that. MA representation implies weak stationarity, indeed.
An old man in the sea.
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gung - Restabelece Monica