Estimador positivo e imparcial para o quadrado da média

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Suponha que tenhamos acesso a amostras de iid a partir de uma distribuição com média e variância verdadeira (desconhecida) e queremos estimar .μ 2μ,σ2μ2

Como podemos construir um estimador imparcial e sempre positivo dessa quantidade?

Tomando o quadrado da amostra, a média é enviesada e superestima a quantidade, esp. se estiver próximo de 0 e for grande.μσ2μ~2μσ2

Esta é possivelmente uma pergunta trivial, mas minhas habilidades no Google estão me decepcionando, pois estimator of mean-squaredapenas retornamean-squarred-error estimators


Se isso facilitar as coisas, pode-se supor que a distribuição subjacente seja gaussiana.


Solução:

  • É possível construir uma estimativa imparcial de ; veja a resposta de knrumseyμ2
  • Não é possível construir uma estimativa sempre imparcial e positiva de pois esses requisitos estão em conflito quando a média verdadeira é 0; veja a resposta do Winksμ2
Winks
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Talvez procure por estimador da média quadrada ou estimador do quadrado da média . Quando li o seu título, também fiquei confuso (como o Google), então editei para torná-lo mais intuitivo.
Richard Hardy

Respostas:

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Observe que a média da amostra X¯ também é normalmente distribuída, com média μ e variância σ2/n . Isso significa que

E(X¯2)=E(X¯)2+Var(X¯)=μ2+σ2n

Se tudo o que lhe interessa é uma estimativa imparcial, você pode usar o fato de que a variação da amostra é imparcial para σ2 . Isso implica que o estimador

μ2^=X¯2S2n
é imparcial paraμ2.

Knrumsey
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μ2^
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(X¯,S2)
@ Winks Essa é a própria razão pela qual este é um exemplo de um estimador imparcial e absurdo .
precisa
X1X2X1X2E(X1X2)=E(X1)E(X2)=μ2μ
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μ2

Se a média verdadeira for 0, o estimador deve retornar 0 como esperado, mas não pode gerar números negativos; portanto, também não é permitido gerar números positivos, pois isso seria tendencioso. Um estimador imparcial e sempre positivo dessa quantidade deve, portanto, sempre retornar a resposta correta quando a média for 0, independentemente das amostras, o que parece impossível.

μ2

Winks
fonte
2
Há um artigo bastante antigo de Jim Berger estabelecendo esse fato, mas não consigo identificá-lo. O problema também aparece em Monte Carlo com estimadores debiasing como a Roleta Russa.
Xian