Pensando em usar redes neurais recorrentes para previsão de séries temporais. Eles basicamente implementam uma espécie de auto-regressão não linear generalizada, em comparação com os modelos ARMA e ARIMA que usam a auto-regressão linear.

Se estamos realizando a auto-regressão não linear, ainda é necessário que as séries temporais sejam estacionárias e precisaríamos executar diferenciais da maneira que fazemos nos modelos ARIMA?

Ou o caráter não linear do modelo lhe dá a capacidade de lidar com séries temporais não estacionárias?

Para colocar a questão de outra maneira: o requisito de estacionariedade (em média e variância) para os modelos ARMA e ARIMA é devido ao fato de esses modelos serem lineares ou por causa de alguma outra coisa?

Se o objetivo do seu modelo é previsão e previsão, a resposta curta é SIM, mas a estacionariedade não precisa estar em níveis.

Eu vou explicar. Se você resumir a previsão à sua forma mais básica, será a extração do invariante. Considere o seguinte: você não pode prever o que está mudando. Se eu lhe disser que amanhã será diferente do que hoje em todos os aspectos imagináveis , você não será capaz de produzir nenhum tipo de previsão .

Somente quando você consegue estender algo de hoje para amanhã, é possível produzir qualquer tipo de previsão. Vou te dar alguns exemplos.

• $\hat x_{t+1}= x_t$
• $v=60$$x_t\sim v t$
• Seu vizinho está bêbado toda sexta-feira. Ele vai ficar bêbado na próxima sexta-feira? Sim, desde que ele não mude seu comportamento
• e assim por diante

Em todos os casos de uma previsão razoável, primeiro extraímos algo constante do processo e o estendemos para o futuro. Portanto, minha resposta: sim, as séries temporais precisam ser estacionárias, se variância e média são os invariantes que você vai estender para o futuro a partir da história. Além disso, você deseja que os relacionamentos com os regressores também sejam estáveis.

Simplesmente identifique o que é invariável no seu modelo, seja um nível médio, uma taxa de mudança ou outra coisa. Essas coisas precisam permanecer as mesmas no futuro, se você quiser que seu modelo tenha qualquer poder de previsão.

Exemplo de Holt Winters

O filtro Holt Winters foi mencionado nos comentários. É uma escolha popular para suavizar e prever certos tipos de séries sazonais e pode lidar com séries não estacionárias. Particularmente, ele pode lidar com séries em que o nível médio cresce linearmente com o tempo. Em outras palavras, onde a inclinação é estável . Na minha terminologia, a inclinação é um dos invariantes que essa abordagem extrai da série. Vamos ver como ele falha quando a inclinação é instável.

Neste gráfico, mostro as séries determinísticas com crescimento exponencial e sazonalidade aditiva. Em outras palavras, a inclinação fica cada vez mais acentuada com o tempo:

Você pode ver como o filtro parece ajustar muito bem os dados. A linha ajustada é vermelha. No entanto, se você tentar prever com esse filtro, ele falhará miseravelmente. A linha verdadeira é preta e a vermelha, se equipada com limites de confiança azuis, no próximo gráfico:

A razão pela qual falha é fácil de ver examinando as equações do modelo de Holt Winters . Extrai a inclinação do passado e se estende para o futuro. Isso funciona muito bem quando a inclinação é estável, mas quando está em constante crescimento, o filtro não consegue acompanhar, está um passo atrás e o efeito se acumula em um crescente erro de previsão.

Código R:

t=1:150
a = 0.04
x=ts(exp(a*t)+sin(t/5)*sin(t/2),deltat = 1/12,start=0)

xt = window(x,0,99/12)
plot(xt)
(m <- HoltWinters(xt))
plot(m)
plot(fitted(m))

xp = window(x,8.33)
p <- predict(m, 50, prediction.interval = TRUE)
plot(m, p)
lines(xp,col="black")

Neste exemplo, você poderá melhorar o desempenho do filtro simplesmente registrando uma série. Quando você adota um logaritmo de séries em crescimento exponencial, torna a inclinação estável novamente e oferece a esse filtro uma chance. Aqui está um exemplo:

Código R:

t=1:150
a = 0.1
x=ts(exp(a*t)+sin(t/5)*sin(t/2),deltat = 1/12,start=0)

xt = window(log(x),0,99/12)
plot(xt)
(m <- HoltWinters(xt))
plot(m)
plot(fitted(m))

p <- predict(m, 50, prediction.interval = TRUE)
plot(m, exp(p))

xp = window(x,8.33)
lines(xp,col="black")

Concordo também com @Aksakal, que, se o objetivo principal é prever, as características principais de uma série estacionária precisam ser mantidas.