Distribuição assintótica da estatística de ordem máxima de normais aleatórios do IID

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Existe uma limitante boa distribuição de como vai para , assumindo que eles são iid distribuições normais com variância . $\max( X_1,X_2,...,X_n)$ $n$ $\infty$ $\sigma^2$

Este é quase certamente um problema bem conhecido, com uma solução inteligente e boa prova, mas eu tenho procurado e não encontrei nada.

distributions probability extreme-value DavidShor
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O texto de probabilidade de Rick Durrett tem isso como um problema divertido. Na terceira edição, está na página 83.

cardeal

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Com , pode ser mostrado que é aproximadamente Gumbel para alguns e conhecidos . Veja http://www.panix.com/~kts/Thesis/extreme/extreme2.html e o "exemplo 1.1.7" aqui citado do livro de de Haan e Ferreira: teoria do valor extremo, uma introdução . $M_n:= \mathrm{max}(X_1,\,X_2,\,\dots,\,X_n)$ $(M_n-b_n)/a_n$ $a_n>0$ $b_n$

Yves
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+1 Ótima resposta e uma boa recomendação para livros. Existem vários outros bons livros sobre teoria dos valores extremos, incluindo o clássico de Gumbel e os livros de Galambos e o livro Leadbetter, Lindgren e Rootzen sobre a extensão a processos estocásticos estacionários. Um livro recente novo e muito legível é o de Stuart Coles. Vale ressaltar que o cdf cumulativo para a distribuição Gumbel exp (-e ).

^{-}

$^-$

^{x}

$^x$

Michael R. Chernick

2

Consulte o livro Risco final dos fundos de hedge: uma aplicação de valor extremo , capítulo 3, seção 3.1. Eles mencionam que a distribuição limitadora dos máximos segue a distribuição Gumbel, Frechet ou Weibull, qualquer que seja a distribuição pai F.

Estado
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