De Theory of Statistics, de Mark J. Schervish (página 12):
Embora o teorema de representação de DeFinetti 1.49 seja central para motivar modelos paramétricos, ele não é realmente usado em sua implementação.
Como o teorema é central para os modelos paramétricos?
Respostas:
O Teorema da Representação de De Finetti fornece, de uma só vez, dentro da interpretação subjetivista das probabilidades, a razão de ser dos modelos estatísticos e o significado dos parâmetros e suas distribuições anteriores.
Suponha que as variáveis aleatórias representem os resultados de lançamentos sucessivos de uma moeda, com os valores e correspondentes aos resultados "Cabeças" e "Caudas", respectivamente. Analisando, no contexto de uma interpretação subjetivista do cálculo de probabilidade, o significado do modelo freqüentista usual sob o qual os são independentes e distribuídos de forma idêntica, De Finetti observou que a condição de independência implicaria, por exemplo, que e, portanto, os resultados do primeiro Lances não mudariam minha incerteza sobre o resultado de 1 0 X i P { X n = x n ∣ X 1 = x 1 , … , X n - 1 = x n - 1 } = P { X n = x n }X1,…,Xn 1 0 Xi N - 1 n a priori 999 1 / 2 X i
Essa observação levou De Finetti à introdução de uma condição mais fraca que a independência, que resolve essa aparente contradição. A chave da solução de De Finetti é um tipo de simetria distributiva conhecida como permutabilidade.
{ X i } n i = 1 μ X 1 , … , X n μ X 1 , … , X n = μ X π ( 1 ) , … , X π ( n ) π : { 1 , … , n } → { 1 , … , n } { X iDefinition. Para um determinado conjunto finito de objetos aleatórios, vamos denotar sua distribuição conjunta. Esse conjunto finito é intercambiável se , para cada permutação . Uma sequência de objetos aleatórios é intercambiável se cada um de seus subconjuntos finitos for intercambiável.{Xi}ni=1 μX1,…,Xn μX1,…,Xn=μXπ(1),…,Xπ(n) π:{1,…,n}→{1,…,n} {Xi}∞i=1
Supondo apenas que a sequência de variáveis aleatórias é permutável, De Finetti provou um notável teorema que lança luz sobre o significado de modelos estatísticos comumente usados. No caso específico em que os assumem os valores e , o Teorema da Representação de De Finetti diz que é intercambiável se e somente se houver uma variável aleatória , com distribuição , de modo que em que . Além disso, temos que Xi01{Xi} ∞ i = 1 Θ:ohms→[0,1]uΘP{X1=x1,...,Xn=xn}=∫[0,1]θs(1-θ){Xi}∞i=1 Xi 0 1 {Xi}∞i=1 Θ:Ω→[0,1] μΘ
Este Teorema de Representação mostra como os modelos estatísticos emergem em um contexto bayesiano: sob a hipótese de dos observáveis , a de modo que, dado o valor de , os observáveis sejam independentes e distribuídos de forma idêntica. Além disso, a lei Forte de De Finetti mostra que nossa opinião anterior sobre o não observável , representada pela distribuição , é a opinião sobre o limite de , antes de termos informações sobre os valores das realizações de qualquer um dos existe{Xi}∞i=1 there is parameter Θ Θ conditionally Θ μΘ X¯n Xi 's. O parâmetro desempenha o papel de uma construção subsidiária útil, que nos permite obter probabilidades condicionais envolvendo apenas observáveis através de relações como
Θ
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Tudo está matematicamente correto na resposta do Zen. No entanto, discordo de alguns pontos. Esteja ciente de que não afirmo / acredito que meu ponto de vista seja bom; pelo contrário, sinto que esses pontos ainda não estão totalmente claros. Essas são perguntas filosóficas sobre as quais eu gosto de discutir (e um bom exercício de inglês para mim), e também estou interessado em algum conselho.
Sobre o exemplo de "Cabeças", o comentário do Zen: "a hipótese de independência dos significaria que é impossível aprender algo sobre a moeda observando os resultados de seus lançamentos". Isso não é verdade da perspectiva freqüentista: aprender sobre a moeda significa aprender sobre , o que é possível estimando (estimativa de ponto ou intervalo de confiança) partir dos resultados anteriores . Se o freqüentador observar "Chefes", ele / ela conclui que provavelmente está próximo de , e consequentemente.999 Xi θ θ 999 999 θ 1 Pr(Xn=1)
A propósito, neste exemplo de lançamento de moeda, qual é o aleatório ? Imaginando cada uma das duas pessoas jogando um jogo de arremesso de moedas um número infinito de vezes com a mesma moeda, por que eles encontrariam um ? Eu tenho em mente que a característica do lançamento de moeda é o fixo, que é o valor comum de para qualquer jogador ("quase qualquer jogador" por razões matemáticas técnicas). Um exemplo mais concreto para o qual não há aleatório interpretável é o caso de uma amostragem aleatória com substituição em uma população finita de e .Θ θ=X¯∞ θ X¯∞ Θ 0 1
Sobre o livro de Schervish e a questão levantada pelo OP, acho que (falando rapidamente) Schervish significa que a permutabilidade é uma suposição "legal" e, em seguida, o teorema de DeFinetti é "legal" porque diz que todo modelo permutável tem uma representação paramétrica. Claro que concordo totalmente. No entanto, se eu assumir um modelo intercambiável como e então eu estaria interessado em fazer inferência sobre e , e não sobre a realização de . Se estou interessado apenas na realização de , não vejo nenhum interesse em assumir a permutabilidade.Θ ~ Beta ( a , b ) um b Θ Θ(Xi∣Θ=θ)∼iidBernoulli(θ) Θ∼Beta(a,b) a b Θ Θ
Está tarde...
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Vocês podem estar interessados em um artigo sobre este assunto (é necessária uma assinatura de periódico para acessar - tente acessá-lo na sua universidade):
O'Neill, B. (2011) Permutabilidade, correlação e Efeito de Bayes. International Statistical Review 77 (2), pp. 241-250.
Este artigo discute o teorema da representação como base para os modelos bayesiano e freqüencial de IDI e também o aplica a um exemplo de lançamento de moeda. Deve esclarecer a discussão dos pressupostos do paradigma freqüentista. Na verdade, ele usa uma extensão mais ampla do teorema da representação que vai além do modelo binomial, mas ainda deve ser útil.
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