PDF uniforme da diferença de dois rv

É possível que o PDF da diferença de dois IDs pareça um retângulo (em vez de, digamos, o triângulo que obtemos se os RVs forem retirados da distribuição uniforme).

ou seja, é possível que o PDF f de jk (para dois IDs retirados de alguma distribuição) tenha f (x) = 0,5 para todos os -1 <x <1?

Não há restrições na distribuição da qual extraímos j e k, exceto que o mínimo é -1 e o máximo é 1.

Depois de algumas experiências, acho que isso pode ser impossível.

Teorema: Não há distribuição para a qual quando .$\text{Dist}$$A-B \sim \text{U}(-1,1)$$A, B \sim \text{IID Dist}$

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Prova: considere duas variáveis ​​aleatórias com a característica característica . Denotando sua diferença por . A função característica da diferença é:$A, B \sim \text{IID Dist}$$\varphi$$D=A-B$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(i t D)) &= \mathbb{E}(\exp(i t (A-B))) \\[6pt] &= \mathbb{E}(\exp(i t A)) \mathbb{E}(\exp(-i t B)) \\[6pt] &= \varphi(t) \varphi(-t) \\[6pt] &= \varphi(t) \overline{\varphi(t)} \\[6pt] &= |\varphi(t)|^2. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

(A quarta linha deste trabalho segue o fato de que a função característica é hermitiana .) Agora, pegar fornece uma forma específica para , que é:$D \sim \text{U}(-1,1)$$\varphi_D$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \varphi_D(t) = \mathbb{E}(\exp(itD)) &= \int \limits_{\mathbb{R}} \exp(itr) f_D(r) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \int \limits_{-1}^1 \exp(itr) dr \\[6pt] &= \frac{1}{2} \Bigg[ \frac{\exp(itr)}{it} \Bigg]_{r=-1}^{r=1} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{\exp(it)-\exp(-it)}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(-t) + i \sin(-t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{(\cos(t) + i \sin(t)) - (\cos(t) - i \sin(t))}{it} \\[6pt] &= \frac{1}{2} \frac{2i \sin(t)}{it} \\[6pt] &= \frac{\sin(t)}{t} = \text{sinc}(t). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

onde esta é a função sinc (não normalizada) . Portanto, para atender aos requisitos de , exigimos uma função característica com norma ao quadrado dada por:$\text{Dist}$$\varphi$

$$|\varphi(t)|^2 = \varphi_D(t) = \text{sinc}(t).$$

O lado esquerdo desta equação é uma norma ao quadrado e, portanto, não é negativo, enquanto o lado direito é uma função que é negativa em vários lugares. Portanto, não há solução para esta equação e, portanto, não há função característica que satisfaça os requisitos para a distribuição. (Dê uma gorjeta a Fabian por apontar isso em uma pergunta relacionada no Mathematics.SE .) Portanto, não há distribuição com os requisitos do teorema. $\blacksquare$

Esta é a opinião de um engenheiro elétrico sobre o assunto, com um ponto de vista mais adequado para o dsp.SE do que para stats.SE, mas não importa.

Suponha que e são variáveis ​​aleatórias contínuas com pdf comum . Então, se denota , temos que A desigualdade de Cauchy-Schwarz nos diz que tem um máximo em . De fato, como é na verdade a função de "autocorrelação" de considerada como "sinal", ele deve ter um máximo único em e, portanto, não pode ser distribuído uniformemente conforme desejado. Como alternativa, se$X$$Y$$f(x)$$Z$$X-Y$

$$f_Z(z) = \int_{-\infty}^\infty f(x)f(x+z) \ \mathrm dx.$$ $f_Z(z)$$z=0$$f_Z$$f$$z=0$$Z$ $f_Z$de fato uma densidade uniforme (lembre-se de que também é uma função de autocorrelação), então a "densidade espectral de potência" de (considerada um sinal) seria uma função sinc e, portanto, não uma função não-negativa, pois todas as densidades espectrais de potência devem ser . Logo, a suposição de que é uma densidade uniforme leva a uma contradição e, portanto, a suposição deve ser falsa.$f_Z$$f_Z$

A alegação de que é obviamente inválida quando a distribuição comum de e contém átomos, pois, nesse caso, a distribuição de também conterá átomos. Suspeito que a restrição de que e tenham um pdf possa ser removida e uma prova puramente teórica da medida seja construída para o caso geral em que e não necessariamente apreciam um pdf (mas a diferença deles).X Y Z X Y X $f_Z \sim \mathcal U[-1,1]$$X$$Y$$Z$$X$$Y$$X$$Y$