Encontre densidades marginais de

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Como o título diz, estou procurando as densidades marginais de

f(x,y)=c1x2y2,x2+y21.

Até agora, descobri que é . Eu descobri isso convertendo em coordenadas polares e integrando sobre , e é por isso que estou preso na parte de densidades marginais. Eu sei que , mas não sei como resolver isso sem obter uma grande integral confusa e sei que a resposta não é ' não deveria ser uma grande integral bagunçada. É possível encontrar e, em seguida, para encontrarc32πf(x,y)drdθfx(x)=f(x,y)dyF(x,y) fx(x)dFdxfx(x)? Essa parece ser a maneira intuitiva de fazê-lo, mas não consigo encontrar nada no meu livro que indique esses relacionamentos, por isso não queria fazer suposições erradas.

Jarrod
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@kwak Não sei por que alterar o título foi necessário ... a tag "dever de casa" deve ser suficiente.
Shane
@ Shane:> ok voltou ao original.
user603

Respostas:

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A geometria ajuda aqui. O gráfico de é uma cúpula esférica de raio unitário. (Daqui resulta imediatamente que seu volume é metade do volume de uma esfera unitária, , de onde .) As densidades marginais são dadas por áreas de seções verticais através de nessa esfera. Obviamente, cada seção transversal é um semicírculo: para obter a densidade marginal, encontre seu raio em função da variável restante e use a fórmula para a área de um círculo. A normalização da função univariada resultante para que a área da unidade a transforme em densidade.( 4 π / 3 ) / 2 c = 3 / ( 2 π )f(4π/3)/2c=3/(2π)

whuber
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Ahh, está meio que voltando para mim pelo cálculo multivariável. Lembro-me de fazer problemas assim. Como encontro o raio em função da variável restante? Ainda parece que vou ter algum tipo de integral de monstro sobrando.
Jarrod
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yx21y21y2π(1y2)/2.
Oh, certo. Isso passou pela minha cabeça, mas parecia muito simples. Acho que estava determinado a ser complicado. Obrigado!
Jarrod
Esqueci-me de perguntar: como é que c aparece nisso?
Jarrod
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Na minha opinião, a resposta de Whuber merece ser votada por duas razões. Primeiro, ele responde à pergunta feita, segundo como um modelo de como poderemos, no futuro, lidar com questões de dever de casa (explicitamente declaradas): esse tipo de resposta realmente contribui para o processo de aprendizagem e poderia ser uma política melhor em relação à questão de dever de casa do que a adotada no MO / SO.
usar o seguinte comando