Qual é a intuição por trás da diferenciação de segunda ordem?

Às vezes, uma série de horas pode precisar ser diferenciada para ficar estacionária. No entanto, não entendo como a diferenciação de segunda ordem pode ajudar a torná-la estacionária quando a diferenciação de primeira ordem não é suficiente.

Você poderia dar uma explicação intuitiva para a diferenciação de segunda ordem e os casos em que é necessário?

A diferenciação de segunda ordem é a analogia discreta da segunda derivada. Para uma série temporal discreta, a diferença de segunda ordem representa a curvatura da série em um determinado momento. Se a diferença de segunda ordem for positiva, a série temporal estará curvando-se para cima naquele momento e, se for negativa, a série temporal estará curvando-se para baixo naquele momento.

A diferença de segunda ordem de uma série temporal discreta no momento é:$\{ X_t | t \in \mathbb{Z} \}$$t$

$$\begin{equation} \begin{aligned} \Delta^2 X_t = \Delta (\Delta X_t) &= \Delta (X_t-X_{t-1}) \\[6pt] &= \Delta X_t - \Delta X_{t-1} \\[6pt] &= (X_t-X_{t-1})-(X_{t-1}-X_{t-2}) \\[6pt] &= X_t - 2X_{t-1} + X_{t-2}. \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Isso é positivo se e negativo se (e zero se ). Se houver mais mudanças ascendentes (menos descendentes) na série neste momento do que no tempo anterior, haverá uma curvatura positiva e se houver menos mudanças ascendentes (mais descendentes) na série neste momento do que no tempo anterior, há curvatura negativa.$\Delta X_t > \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t < \Delta X_{t-1}$$\Delta X_t = \Delta X_{t-1}$

Dois pensamentos:

Recursão . Depois da diferença de primeira ordem, o que você tem? Outra série temporal que, nas condições certas, está mais próxima do estacionário. Se não estiver perto o suficiente, agora você tem uma série temporal que não é estacionária e deseja movê-la para mais perto da estacionária, para fazer uma diferença de primeira ordem. (Que passa a ser uma diferença de segunda ordem da série temporal original.) Se a série temporal diferenciada não estiver próxima o suficiente para estacionar, você ... [recursar] ...

Derivados . Imagine gravar a localização GPS do seu carro a cada 10 minutos. Se eu pudesse pegar os pontos de GPS a partir de dois dias e mostrá-los para você e você não conseguisse descobrir em que dia poderia ter sido - talvez nem mesmo pudesse contar um dia de outro - seus dados de localização seriam estacionário.

Mas diga que você dirige para uma cidade vizinha diferente a cada dia por duas semanas? Você seria capaz de dizer facilmente a diferença entre os dias - talvez mesmo sabendo exatamente em que dia eu estava lhe mostrando. Não está parado.

Talvez se você registrasse sua distância de casa a cada 10 minutos, isso tornaria seus dados mais estacionários. A distância não inclui a direção, então talvez agora seus dados para essas duas semanas tenham a mesma aparência? (A localização média é em casa, por exemplo.)

Diga, em vez disso, que você escolheu dirigir de Nova York até Los Angeles. O truque da distância não funcionaria, já que a distância daria uma distinção bem clara entre os dias.

Mas você pode optar por gravar sua velocidade a cada 10 minutos. Dirigindo cross-country no sistema interestadual, seus dias tenderiam a se parecer muito com a velocidade. Ou seja, sua velocidade seria estacionária.

Digamos, o local no tempo 0 é e 10 e 20 minutos depois é e , respectivamente. A distância percorrida em cada intervalo de 10 minutos seria e , que, quando dividida pelo intervalo de tempo, produz a velocidade (mesmas unidades que a velocidade, mas com direção). O segundo diferencial, é a aceleração. Se a velocidade for estacionária e o veículo estiver em movimento permanente, as diferenças de localização também serão estacionárias.$L_0$$L_1$$L_2$$D_1 = L_1 - L_0$$D_2 = L_2 - L_1$$A_2 = D_2 - D_1 = L_2 - 2 L_1 + L_0$