MLE de

Deixei $X_{1},X_{2},X_{3},...,X_{n}$ ser uma amostra aleatória de uma distribuição com pdf

$$f(x;\alpha,\theta)=\frac{e^{-x/\theta}}{\theta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}I_{(0,\infty)}(x ),\alpha,\theta>0$$

Encontre o estimador de probabilidade máxima de $\alpha$ e $\theta$. Deixei$\Psi(\alpha)=\frac{d\Gamma(\alpha)}{d\alpha}$

Minha tentativa

$$\begin{eqnarray*} \mathcal{L}(\alpha,\theta)&=&\prod_{i=1}^{n}f(x_i)\\ &=&\prod_{i=1}^{n}\frac{e^{-x_i/\theta}}{\theta^{\alpha}\Gamma(\alpha)}x_i^{\alpha-1}\\ &=&\frac{1}{\Gamma^{n}(\alpha)\cdot \theta^{n \alpha}}(\prod_{i=1}^{n}x_i)^{\alpha-1}\exp(-\sum_{i=1}^{n}\frac{x_i}{\theta}) \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \ell(\alpha,\theta)&=&-n\log(\Gamma(\alpha))-n\alpha\log(\theta)+(\alpha-1)\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)-\frac{1}{\theta}\sum_{i=1}^{n}x_i\\ \frac{\delta \ell(\alpha,\theta)}{\delta \theta}&=&-\frac{n\alpha}{\theta}+\frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^{n}x_i=0\\ \frac{1}{\theta^2}\sum_{i=1}^{n}x_i&=&\frac{n\alpha}{\theta}\\ \hat{\theta}&=&\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n\alpha}\\ &=&\frac{1}{\alpha}\bar{x}\\ \end{eqnarray*}$$ $$\begin{eqnarray*} \frac{d \ell(\alpha,\hat{\theta})}{d\alpha}&=&\frac{-n \cdot \Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}-n\log(\frac{1}{\alpha}\bar{x})+\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)=0\\ &=&\frac{-n \cdot \Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}+n\log(\alpha)-n\log(\bar{x})+\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)=0\\ \log(\alpha)-\frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}&=&\log(\bar{x})-\frac{\sum_{i=1}^{n}\log(x_i)}{n} \end{eqnarray*}$$

Não consegui mais encontrar o $\alpha$. Segundo, eu não sei como usar$\Psi(\alpha)=\frac{d\Gamma(\alpha)}{d\alpha}$como indicado na pergunta. Espero que alguém possa me explicar.

Desde já, obrigado.

Deixei $\psi(\alpha) = \frac{\Gamma'(\alpha)}{\Gamma(\alpha)}$ tão $\psi$é a função digamma (eu estou usando$\psi$ ao invés de seu $\Psi$)

Pela desigualdade AM-GM

$$\bar x \geq \left(\prod_i x_i\right)^{1/n}$$ tão $$\log \bar x - \overline{\log x} \geq 0$$ (Onde $\log \bar x$ e $\log x_i$são definidos quase certamente). Além disso, a igualdade só vale para$x_1=\dots=x_n$ o que é uma probabilidade $0$ evento, então $\log \bar x - \overline{\log x} > 0$ quase certamente.

Para simplificar, eu vou levar $y = \log \bar x - \overline{\log x}$.

Considerar $f(\alpha) = \log(\alpha) - \psi(\alpha)$ em $(0,\infty)$. Isso é contínuo e

$$\lim_{\alpha\to 0} f(\alpha) = \infty$$ $$\lim_{\alpha\to\infty} f(\alpha) = 0$$ assim, pelo teorema do valor intermediário $f$ atinge todos os números reais em $(0,\infty)$. Em particular, isso significa que $$f^{-1}\left(\left\{y\right\}\right) \neq \emptyset$$ ou seja, há pelo menos um ponto em $(0,\infty)$ mapeado para $y$, Desde a $y > 0$.

Além disso, $f$ acaba por ser injetável em $(0,\infty)$ Como $f' < 0$ então existe realmente um único $\hat \alpha$ com $f(\hat\alpha) = y$.

Na verdade, encontrar isso $\hat \alpha$ exigirá métodos numéricos, como diz @StubbornAtom.