Intuição (geométrica ou outra) de

Em outra parcela de intuições para identidades em probabilidade, considere a identidade elementar Lei da Variância Total

\begin{array}{rcl} V a r (X) & = & E [V a r (X | Y)] + V a r (E [X | Y]) \end{array}

$\begin{eqnarray} \rm{Var}(X) &=&\rm{E}[\rm{Var}(X|Y)] + \rm{Var}(E[X|Y]) \end{eqnarray}$

É uma manipulação algébrica ~~simples e~~ direta da definição de momentos em soma, ou, como no link da Wikipedia, através da manipulação de E e Var.

Mas essa identidade, não tenho ideia do que isso significa . Suponho que isso signifique que você possa calcular a variação de uma variável usando outra variável para ajudar, mas não parece que simplifique as coisas ou as torne mais tratáveis.

A página wiki diz

o primeiro componente é chamado o valor esperado da variação do processo (EVPV) e o segundo é chamado a variação dos meios hipotéticos (VHM)

o que é tão esclarecedor quanto a leitura de nomes pode ser.

Então, o que isso realmente significa ? Existe uma intuição sobre as duas partes? Você precisa de uma intuição de primeiro? Uma intuição geométrica pode ser boa, mas também uma explicação detalhada, pequena álgebra, ajudaria imensamente. $E[E[X|Y]] = E[X]$

Existem boas interpretações de álgebra linear ou interpretações físicas ou outras que dariam informações sobre essa identidade?

variance intuition Mitch
fonte

mas não parece que simplifica as coisas ou as torna mais tratáveis - é útil basicamente em qualquer caso em que exista um

auxiliar que torne

mais fácil de pensar do que apenas o próprio

Por exemplo, pegue

Y

$Y$

X ∣ Y

$X \mid Y$

X

$X$

$\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb E}\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$

; então

X ∣ Y \sim N (Y, Y σ^{2})

$X \mid Y \sim \mathcal{N}(Y, Y \sigma^2)$

Y \sim B i n o m i a l (n, p)

$Y \sim \mathrm{Binomial}(n, p)$

Tentar calcular isso diretamente teria sido muito menos direto.

\begin{matrix} E [Var (X ∣ Y)] = E [Y σ^{2}] = n p σ^{2} \\ Var (E [X ∣ Y]) = Var (Y) = n p (1 - p) . \end{matrix}

$\begin{gather}\E[\Var(X \mid Y)] = \E[Y \sigma^2] = n p \sigma^2 \\ \Var(\E[X \mid Y]) = \Var(Y) = n p (1-p).\end{gather}$

Dougal

related: stats.stackexchange.com/questions/71620/...

Taylor

Para obter alguma intuição simples, compararemos com uma análise de variância bidirecional. Deixe- onde o são iid com expectativa zero e variância comum , . $Y_{ij} = \mu_i +\epsilon_{ij}$ $\epsilon_{ij}$ $\sigma^2$ $i=1,\dotsc,k; j=1,\dotsc,n_i$

\sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n_{i}} (Y_{i j} - \bar{\bar{Y}})^{2} = \sum_{i = 1}^{k} \sum_{j = 1}^{n_{i}} (Y_{i j} - \bar{Y_{i}})^{2} + \sum_{i = 1}^{k} n_{i} ((\bar{Y_{i}} - \bar{\bar{Y}})^{2}

$\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij}-\overline{\overline{Y}})^2 = \sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij}-\overline{Y_i})^2 + \sum_{i=1}^k n_i((\overline{Y_{i}}-\overline{\overline{Y}})^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

μ_{i}

$\mu_i$

μ_{i}

$\mu_i$

$G$

V a r Y = E V a r (Y | G) + V a r E (Y | G)

$Var Y = E Var (Y | G) + Var E (Y | G)$

Y

$Y$ Lei da variância total como teorema de Pitágoras

kjetil b halvorsen
fonte

Meu hack do mathjax para obter linhas duplas não funciona muito bem. Idéias para melhorar?

Kjetil b halvorsen

X

$X$

Y

$Y$

\bar{\bar{X}}

$\overline{\overline{X}}$

Intuição (geométrica ou outra) de

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