Como provar que a função base radial é um núcleo?

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Como provar que a função de base radial é um kernel? Tanto quanto eu entendo, para provar isso, temos que provar um dos seguintes: $k(x, y) = \exp(-\frac{||x-y||^2)}{2\sigma^2})$

Para qualquer conjunto de vetores matriz = é semidefinido positivo. $x_1, x_2, ..., x_n$ $K(x_1, x_2, ..., x_n)$ $(k(x_i, x_j))_{n \times n}$
Um mapeamento pode ser apresentado como = . $\Phi$ $k(x, y)$ $\langle\Phi(x), \Phi(y)\rangle$

Qualquer ajuda?

svm kernel-trick Leo
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Só para ligá-la mais, obviamente: o mapa recurso também é discutida nesta questão , particularmente a resposta de Marc Claesen baseado na série de Taylor e mina que discute tanto os RKHS e a versão geral do

L_{2}

$L_2$ incorporação para dado por Douglas abaixo.

Dougal

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O Zen usou o método 1. Aqui está o método 2: mapeie $x$ para uma distribuição gaussiana esfericamente simétrica, centrada em $x$ no espaço Hilbert $L^2$ . O desvio padrão e um fator constante precisam ser ajustados para que isso funcione exatamente. Por exemplo, em uma dimensão,

\int_{- \infty}^{\infty} \frac{\exp [- (x - z)^{2} / (2 σ^{2})]}{\sqrt{2 π} σ} \frac{\exp [- (y - z)^{2} / (2 σ^{2})}{\sqrt{2 π} σ} d z = \frac{\exp [- (x - y)^{2} / (4 σ^{2})]}{2 \sqrt{π} σ} .

$\int_{-\infty}^\infty \frac{\exp[-(x-z)^2/(2\sigma^2)]}{\sqrt{2 \pi} \sigma} \frac{\exp[-(y-z)^2/(2 \sigma^2)}{\sqrt{2 \pi} \sigma} dz = \frac{\exp [-(x-y)^2/(4 \sigma^2)]}{2 \sqrt \pi \sigma}.$

Portanto, use um desvio padrão de e dimensionar a distribuição de Gauss para obter. Esse último redimensionamento ocorre porque anormade uma distribuição normal não éem geral. $\sigma/\sqrt 2$ $k(x,y) = \langle \Phi(x), \Phi(y)\rangle$ $L^2$ $1$

Douglas Zare
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2

@ Zen, Douglas Zare: obrigado por suas ótimas respostas. Como devo selecionar a resposta oficial agora?

Leo

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Usarei o método 1. Verifique a resposta de Douglas Zare para obter uma prova usando o método 2.

I provará o caso quando são números reais, de modo que . O caso geral segue mutatis mutandis do mesmo argumento, e vale a pena fazer. $x,y$ $k(x,y)=\exp(-(x-y)^2/2\sigma^2)$

Sem perda de generalidade, suponha que . $\sigma^2=1$

Escreva , onde $k(x,y)=h(x-y)$ é a função característica de uma variável aleatóriacomdistribuição.

h (t) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = E [e^{i t Z}]

$h(t)=\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)=\mathrm{E}\left[e^{itZ}\right]$

Z

$Z$

N (0, 1)

$N(0,1)$

Para números reais e , temos $x_1,\dots,x_n$ $a_1,\dots,a_n$ que implica que é uma função semidefinida positiva, também conhecida como kernel.

\sum_{j, k = 1}^{n} a_{j} a_{k} h (x_{j} - x_{k}) = \sum_{j, k = 1}^{n} a_{j} a_{k} E [e^{i (x_{j} - x_{k}) Z}] = E [\sum_{j, k = 1}^{n} a_{j} e^{i x_{j} Z} a_{k} e^{- i x_{k} Z}] = E [{| \sum_{j = 1}^{n} a_{j} e^{i x_{j} Z} |}^{2}] \geq 0,

$\sum_{j,k=1}^n a_j\,a_k\,h(x_j-x_k) = \sum_{j,k=1}^n a_j\,a_k\,\mathrm{E} \left[ e^{i(x_j-x_k)Z}\right] = \mathrm{E} \left[ \sum_{j,k=1}^n a_j\,e^{i x_j Z}\,a_k\,e^{-i x_k Z}\right] = \mathrm{E}\left[ \left| \sum_{j=1}^n a_j\,e^{i x_j Z}\right|^2\right] \geq 0 \, ,$

k

$k$

Para entender esse resultado em maior generalidade, consulte o Teorema de Bochner: http://en.wikipedia.org/wiki/Positive-definite_function

zen
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2

Este é um bom começo, na direção certa, com duas ressalvas: (a)

não é igual à expectativa mostrada (verifique o sinal no expoente) e (b) isso parece restringir a atenção ao caso em que

e

são escalares e não vetores. Enquanto isso, eu voto positivo, porque a exposição é agradável e limpa e tenho certeza de que você rapidamente preencherá essas pequenas lacunas. :-)

h (t)

$h(t)$

x

$x$

y

$y$

cardeal

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Tks! Estou com pressa aqui. :-)

Zen

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Com licença, eu realmente não vejo como você gerencia os mutatis mutandis aqui. Se você desenvolver a norma antes de passar para o formulário

, terá produtos e não poderá trocar produtos e somas. E simplesmente não vejo como desenvolver a norma depois de passar para a forma h para obter uma expressão agradável. Você pode me levar um pouco até lá? :)

h

$h$

Alburkerk

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Vou adicionar um terceiro método, apenas para variar: construir o kernel a partir de uma sequência de etapas gerais conhecidas por criar kernels pd. Deixe- denotar o domínio dos grãos abaixo e os mapas de características. $\mathcal X$ $\varphi$

Escalonamentos: Se é um kernel pd, também é para qualquer constante . $\kappa$ $\gamma \kappa$ $\gamma > 0$

Prova: se é o mapa de características de , $\varphi$ $\kappa$ é um mapa de recursos válido para. $\sqrt\gamma \varphi$ $\gamma \kappa$
Soma: Se e são pd kernels, também é . $\kappa_1$ $\kappa_2$ $\kappa_1 + \kappa_2$

Prova: concatene os mapas de recursos e , para obter . $\varphi_1$ $\varphi_2$ $x \mapsto \begin{bmatrix}\varphi_1(x) \\ \varphi_2(x)\end{bmatrix}$
Limites: Se são pd kernels e existe para todos , então é pd. $\kappa_1, \kappa_2, \dots$ $\kappa(x, y) := \lim_{n \to \infty} \kappa_n(x, y)$ $x, y$ $\kappa$

Prova: Para cada e cada temos que . Tomar o limite como fornece a mesma propriedade para . $m, n \ge 1$ $\{ (x_i, c_i) \}_{i=1}^m \subseteq \mathcal{X} \times \mathbb R$ $\sum_{i=1}^m c_i \kappa_n(x_i, x_j) c_j \ge 0$ $n \to \infty$ $\kappa$
Produtos: Se e são pd kernels, o mesmo acontece com $\kappa_1$ $\kappa_2$ . $g(x, y) = \kappa_1(x, y) \, \kappa_2(x, y)$

Prova: Segue-se imediatamente a partir do teorema do produto Schur , mas Schölkopf e Smola (2002) fornecem a seguinte prova agradável e elementar. Seja seja independente. Assim,
$(V_{1}, \dots, V_{m}) \sim N (0, {[κ_{1} (x_{i}, x_{j})]}_{i j}) (W_{1}, \dots, W_{m}) \sim N (0, {[κ_{2} (x_{i}, x_{j})]}_{i j})$ $(V_1, \dots, V_m) \sim \mathcal{N}\left( 0, \left[ \kappa_1(x_i, x_j) \right]_{ij} \right) \\ (W_1, \dots, W_m) \sim \mathcal{N}\left( 0, \left[ \kappa_2(x_i, x_j) \right]_{ij} \right)$ As matrizes de covariância devem ser psd, portanto, considerando a matriz de covariância de prova isso. $C o v (V_{i} W_{i}, V_{j} W_{j}) = C o v (V_{i}, V_{j}) C o v (W_{i}, W_{j}) = κ_{1} (x_{i}, x_{j}) κ_{2} (x_{i}, x_{j}) .$ $\mathrm{Cov}(V_i W_i, V_j W_j) = \mathrm{Cov}(V_i, V_j) \,\mathrm{Cov}(W_i, W_j) = \kappa_1(x_i, x_j) \kappa_2(x_i, x_j).$ $(V_1 W_1, \dots, V_n W_n)$
$\kappa$ $\kappa^n(x, y) := \kappa(x, y)^n$ $n$

Prova: imediata da propriedade "produtos".
$\kappa$ $e^\kappa(x, y) := \exp(\kappa(x, y))$

$e^\kappa(x, y) = \lim_{N \to \infty} \sum_{n=0}^N \frac{1}{n!} \kappa(x, y)^n$
$\kappa$ $f : \mathcal X \to \mathbb R$ $g(x, y) := f(x) \kappa(x, y) f(y)$

$x \mapsto f(x) \varphi(x)$

\begin{aligned} k (x, y) & = \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ x - y ‖^{2}) \\ = \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ x ‖^{2}) \exp (\frac{1}{σ^{2}} x^{T} y) \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ y ‖^{2}) . \end{aligned}

$\begin{align*} k(x, y) &= \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x - y \rVert^2 \right) \\&= \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x \rVert^2 \right) \exp\left( \tfrac{1}{\sigma^2} x^T y \right) \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert y \rVert^2 \right) .\end{align*}$

κ (x, y) = x^{T} y

$\kappa(x, y) = x^T y$

\frac{1}{σ^{2}}

$\frac{1}{\sigma^2}$

x \mapsto \exp (- \frac{1}{2 σ^{2}} ‖ x ‖^{2})

$x \mapsto \exp\left( - \tfrac{1}{2 \sigma^2} \lVert x \rVert^2 \right)$

Dougal
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