Densidade anterior não informativa em condições normais

A Análise Bayesiana de Dados (p. 64) diz, sobre um modelo normal :

uma densidade anterior vaga e sensível para e σ , assumindo independência anterior dos parâmetros de localização e escala, é uniforme em ( μ , log σ ) ou, equivalente, p ( μ , σ 2 ) ∝ ( σ 2 ) - 1$\mu$$\sigma$$(\mu, \log \sigma)$

$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Por que é uniforme sobre equivalente a p ( μ , σ 2 ) ∝ ( σ 2 ) - $p(\mu, \log \sigma)$$p(\mu, \sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}$ ?

Por que isso é um prior "sensato"?

$\phi = \log (\sigma) = \tfrac{1}{2} \log (\sigma^2)$$\sigma^2 = \exp (2\phi)$

$$p(\sigma^2) = p(\phi) \cdot \Bigg| \frac{d \phi}{d\sigma^2} \Bigg| \propto 1 \cdot \frac{1}{2\sigma^2} \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

Como os parâmetros são independentes neste anterior, temos então:

$$p(\mu, \sigma^2) = p(\mu) p(\sigma^2) \propto (\sigma^2)^{-1}.$$

$\mu$$\log \sigma$ . (Nossas crenças sobre o parâmetro da média também são invariáveis ​​em termos de localização e escala.) Em outras palavras, gostaríamos que nossa representação da ignorância dos dois parâmetros fosse invariável a mudanças arbitrárias na escala de medição das variáveis.

Para a derivação acima, usamos um uniforme impróprio antes do parâmetro log-variance. É possível obter o mesmo resultado em um sentido limitante, usando um prior adequado para a escala logarítmica que tende à uniformidade e encontrando o prior adequado para a variância que corresponde a isso, e então tomando o limite para obter o presente variação imprópria prévia. Isso é realmente apenas um reflexo do fato de que antecedentes impróprios geralmente podem ser interpretados como limites de antecedentes próprios.

Existem muitas outras justificativas possíveis para esse prior impróprio, e elas apelam à teoria de representar a "ignorância" anterior. Existe uma grande literatura sobre esse assunto, mas uma discussão mais curta pode ser encontrada em Irony e Singpurwalla (1997) (discussão com José Bernardo), que fala sobre os vários métodos pelos quais tentamos representar "ignorância". O anterior inadequado com o qual você está lidando aqui é a versão limitadora do conjugado anterior para o modelo normal, com a variação anterior de cada parâmetro levado ao infinito.