Escrevendo AR (1) como um processo MA ( )

O processo AR (1) é

$$X_t = \phi X_{t-1} + \varepsilon_t$$

se usarmos essa fórmula recursivamente, obteremos

$$X_t = \phi(\phi X_{t-2} + \varepsilon_{t-1}) + \varepsilon_t = \phi^2X_{t-2} + \phi\varepsilon_{t-1} + \varepsilon_t = \cdots = \phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}$$

Se deixarmos $k\to\infty$ , obteremos

$$X_t = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k} + \sum_{j=0}^k \phi^j\varepsilon_{t-j}) = \lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k}) + \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$$ A dualidade entre AR (1) e MA ( $\infty$ ) afirma que existe uma equivalência entre os dois e que podemos escrever $X_t$ como

$$X_t = \sum_{j=0}^\infty \phi^j\varepsilon_{t-j}$$

A diferença entre os dois resultados é o termo $\lim_{k\to\infty}(\phi^k X_{t-k})$ , que deve ser zero, mas como mostro isso?

Assumindo $|\phi| < 1$ , temos $\lim_{k\to\infty}\phi^k = 0$ , é claro, mas não vejo por que $\lim_{k\to\infty} X_{t-k} < \infty$ ? A convergência supõe a lei dos grandes números ou existe outra maneira de mostrar equivalência?

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Eu sei que há uma prova que inverte o operador de atraso $1-B$ , mas não encontrei nenhuma justificativa para o motivo de o operador poder ser invertido, então eu queria uma prova alternativa, como a acima.

O sentido usual em que a convergência é entendida neste caso é no quadrado médio :

$$E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=\phi^{2(j+1)} E[Y_{t-j-1}]^2$$ Se estiver estacionário Portanto, $Y_t$ $$E[Y_{t-j-1}]^2=\gamma_0+\mu^2$$ $$\lim_{j\to\infty}E[Y_t-(\epsilon_t+\phi\epsilon_{t-1}+\phi^2\epsilon_{t-2} +\ldots+\phi^j\epsilon_{t-j})]^2=0$$

Você tem razão em suspeitar dessa etapa e, de fato, sem outras suposições para limitar o tamanho de não é possível obter o formulário necessário. Lembre-se de que a equação recursiva para o modelo de RA é insuficiente para produzir a distribuição conjunta do processo. (Você precisa impor uma distribuição para o processo de erro e, mesmo assim, impor estacionariedade ou especificar uma distribuição inicial que leve a algum modelo não estacionário.) Se você tiver apenas essa equação recursiva, não há razão para que os valores das séries temporais não puderam explodir em valores grandes como .$X_{-\infty}$$t \rightarrow -\infty$

Por exemplo, o processo determinístico de RA não estacionário satisfaz a equação recursiva que você especificou (com zero de erros) e, nesse caso, você tem . Nesse modelo, para qualquer você também tem:$X_t = \phi^t$$\lim_{k \rightarrow \infty} X_{t-k} = \infty$$\phi \neq 0$

$$\phi^k X_{t-k} = \phi^k \phi^{t-k} = \phi^t \neq 0.$$

Como os erros são zero neste modelo determinístico, isso fornece o resultado limitante:

$$X_t = \underbrace{\sum_{k=0}^\infty \phi^k \varepsilon_{t-k}}_{0} + \underbrace{\lim_{k \rightarrow \infty} \phi^k X_{t-k}}_{\phi^t}. \\[6pt]$$

Claramente, nesse caso, o prazo limite é diferente de zero e não pode ser removido do resultado. Se você deseja remover esse último termo, é necessário adicionar mais suposições ao seu modelo (por exemplo, estacionariedade).