Problema de otimização

Um amigo meu vende modelos de liquidificadores. Alguns dos liquidificadores são muito simples e baratos, outros são muito sofisticados e mais caros. Seus dados consistem, para cada mês, nos preços de cada liquidificador (que são fixados por ele) e no número de unidades vendidas para cada modelo. Para estabelecer alguma notação, ele conhece há meses os vetores $k$ $j=1,\dots,n$ que é o preço do modelo blender durante o mês e é o número de unidades vendidas do modelo blender durante o mês .

(p_{1 j}, \dots, p_{k j}) and (n_{1 j}, \dots, n_{k j}),

$(p_{1j},\dots,p_{kj}) \qquad \textrm{and} \qquad (n_{1j},\dots,n_{kj}) \, ,$

p_{i j}

$p_{ij}$

i

$i$

j

$j$

n_{i j}

$n_{ij}$

i

$i$

j

$j$

Dados os dados, ele deseja determinar preços que maximizem o valor de suas vendas futuras esperadas. $(p^*_1,\dots,p^*_k)$

Eu tenho algumas idéias sobre como começar a modelar esse problema com algum tipo de regressão de Poisson, mas eu realmente não quero reinventar a roda. Também seria bom provar que o máximo desejado existe sob certas condições. Alguém poderia me dar sugestões para a literatura desse tipo de problema?

optimization zen
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Eu realmente gostaria de ouvir a lógica por trás do voto negativo sobre esta questão! A única possibilidade que posso imaginar no momento é que havia alguma preocupação sobre qual seria a natureza estatística dessa questão. No entanto, parece-me claro que existe um componente estatístico, uma vez que os dados de vendas podem ser vistos como contagens aleatórias de alguma distribuição subjacente. Suponho que uma edição que desenhe esse ponto um pouco mais claramente possa ajudar. Mas, meus comentários aqui são bastante especulativos. (+1)

cardeal

Tks, cardeal. Vou editá-lo nos próximos dias e adicionar informações que esclarecerão os aspectos de inferência da solução.

Zen

Respostas:

Suponha que exista uma função que pega os preços, , de todos os misturadores e retorna o número de vendas, . Então, o problema é: $f(\cdot)$ $\vec{p}$ $k$ $\vec{n}$

\underset{\vec{p}}{\arg max} {\vec{p}}^{T} f (\vec{p})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max}\;\; \vec{p}^T f(\vec{p})$

A solução para esse problema dependerá das suposições que você deseja fazer. Eu iria com o modelo mais simples que me vem à cabeça, primeiro. Vamos supor que o número de vendas de um liquidificador dependa apenas do seu próprio preço e não do preço de outros. Ou seja, o número de vendas de cada liquidificador é independente. Essa suposição nos permite dividir a função com valor vetorial em funções escalares. Nós temos $f(\cdot)$ $k$ $f_i:p \mapsto n,\;\;i=1,\dots,12$

\underset{\vec{p}}{\arg max} \sum_{i = 1}^{k} p_{i} f_{i} (p_{i})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max} \sum_{i=1}^k p_i f_i(p_i)$

$f_i(\cdot)$ $f_i(p) = \alpha_i p + \beta_i$ $\alpha_i, \beta_i$ ) of this function using the historical sales data. Once, they are estimated, optimizing the cost function above should be straightforward and will give you the optimal prices you are looking for.

As you mentioned in your post, you can assume a Poisson model for $f(\cdot)$ , too.

That the sales of blenders are independent from each other is probably a naive assumption (because customers will look at many blenders, compare them and then buy one). So, I would go for the vector valued $f(\cdot)$ and start with linear modeling. The optimization shouldn't be too difficult.

emrea
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