Relação empírica entre média, mediana e moda

Para uma distribuição unimodal moderadamente inclinada, temos a seguinte relação empírica entre média, mediana e modo: Como foi essa relação derivado?

$$\text{(Mean - Mode)}\sim 3\,\text{(Mean - Median)}$$

Karl Pearson planejou milhares desses relacionamentos antes de formar essa conclusão, ou existe uma linha lógica de raciocínio por trás desse relacionamento?

Indique a média ( média), a mediana, o desvio padrão e o modo. Finalmente, seja a amostra, uma realização de uma distribuição unimodal contínua para a qual existem os dois primeiros momentos.≠ m σ M X $\mu$$\neq$$m$$\sigma$$M$$X$$F$

É sabido que

$$|\mu-m|\leq\sigma\label{d}\tag{1}$$

Este é um exercício frequente de livro didático:

$$\begin{eqnarray} |\mu-m| &=& |E(X-m)| \\ &\leq& E|X-m| \\ &\leq& E|X-\mu| \\ &=& E\sqrt{(X-\mu)^2} \\ &\leq& \sqrt{E(X-\mu)^2} \\ &=& \sigma \end{eqnarray}$$ O primeiro igualdade deriva da definição da média, a terceira ocorre porque a mediana é o minimizador único (entre todos os 's) de E | Xc | e o quarto da desigualdade de Jensen (isto é, a definição de uma função convexa). Na verdade, essa desigualdade pode ser reforçada. De fato, para qualquer F , que satisfaça as condições acima, pode ser mostrado [3] queE | X - c | $c$$E|X-c|$$F$

$$|m-\mu|\leq \sqrt{0.6}\sigma\label{f}\tag{2}$$

Embora, em geral, não seja verdade ( Abadir, 2005 ) que qualquer distribuição unimodal deva satisfazer um dos , ainda é possível mostrar que o desigualdade

$$M\leq m\leq\mu\textit{ or }M\geq m\geq \mu$$

$$|\mu-M|\leq\sqrt{3}\sigma\label{e}\tag{3}$$

vale para qualquer distribuição integrável quadrada e unimodal (independentemente da inclinação). Isso é provado formalmente em Johnson e Rogers (1951), embora a prova dependa de muitos lemas auxiliares que são difíceis de ajustar aqui. Vá ver o papel original.

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Uma condição suficiente para uma distribuição satisfazer é dada em [2]. Se :μ ≤ m ≤ M $F$$\mu\leq m\leq M$$F$

$$F(m−x)+F(m+x)\geq 1 \text{ for all }x\label{g}\tag{4}$$

em seguida, . Além disso, se , a desigualdade é estrita. As distribuições de Pearson Tipo I a XII são um exemplo de família de distribuições satisfatórias [4] (por exemplo, o Weibull é uma distribuição comum para a qual não é válida, consulte [5]).μ ≠ m ( 4 ) ( 4 $\mu\leq m\leq M$$\mu\neq m$$(4)$$(4)$

Agora, assumindo que mantém estritamente e wlog que , temos σ = 1 3 ( m - μ ) ∈ ( 0 , 3 $(4)$$\sigma=1$

$$3(m-\mu)\in(0,3\sqrt{0.6}] \mbox{ and } M-\mu\in(m-\mu,\sqrt{3}]$$

e como o segundo desses dois intervalos não está vazio, certamente é possível encontrar distribuições para as quais a asserção é verdadeira (por exemplo, quando ) para alguma faixa de valores dos parâmetros da distribuição, mas isso não é verdadeiro para todas as distribuições e nem mesmo para todas as distribuições satisfatórias .(4$0<m-\mu<\frac{\sqrt{3}}{3}<\sigma=1$$(4)$

• [0]: O problema do momento para distribuições unimodais. NL Johnson e CA Rogers. Os Anais de Estatística Matemática, vol. 22, n. 3 (setembro de 1951), pp. 433-439
• [1]: A desigualdade no modo médio-mediano: contra-exemplos Karim M. Abadir Econometric Theory, vol. 21, nº 2 (abril de 2005), pp. 477-482
• [2]: WR van Zwet, Média, mediana, modo II, Estatista. Neerlandica, 33 (1979), pp.
• [3]: A média, mediana e modo de distribuição unimodal: uma caracterização. S. Basu e A. DasGupta (1997). Teoria Probab. Appl. 41 (2), 210-223.
• [4]: Algumas observações sobre média, mediana, modo e assimetria. Michikazu Sato. Jornal Australiano de Estatística. Volume 39, Edição 2, páginas 219–224, junho de 1997
• [5]: PT von Hippel (2005). Média, mediana e inclinação: corrigindo uma regra de livro didático. Journal of Statistics Education Volume 13, Número 2.

O artigo chl aponta para informações importantes - mostrando que ela não é próxima de uma regra geral (mesmo para variáveis ​​contínuas, suaves e "bem comportadas", como o Weibull). Portanto, embora possa ser aproximadamente verdadeiro, geralmente não é.

Então, de onde vem Pearson? Como ele chegou a essa aproximação?

Felizmente, Pearson nos diz a resposta.

O primeiro uso do termo "inclinação" no sentido em que estamos usando parece ser Pearson, 1895 [1] (aparece exatamente no título). Este documento também parece ser o local onde ele introduz o termo modo (nota de rodapé, p345):

Achei conveniente usar o termo modo para as abcissas correspondentes às ordenadas de frequência máxima. O "médio", o "modo" e a "mediana" têm todos os caracteres distintos importantes para o estatístico.

Também parece ser seu primeiro detalhamento real de seu sistema de curvas de frequência .

Portanto, ao discutir a estimativa do parâmetro de forma na distribuição Pearson Tipo III (o que chamamos agora de gama deslocada - e possivelmente invertida), ele diz (p375):

$p$$^\dagger$

$>1$

$\dagger$$x$

E, de fato, se observarmos a proporção de (modo médio) para (média mediana) para a distribuição gama, observaremos o seguinte:

(A parte azul marca a região em que Pearson diz que a aproximação é razoável).

$\alpha$$\beta$

$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}=k$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\sqrt{\beta}-\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}=c$$\sqrt{\beta}+\sqrt{\alpha}$$\alpha$$\beta$

$\alpha>10$

$e^{\mu-\sigma^2}, e^{\mu}$$e^{\mu+\sigma^2/2}$

$e^{\mu}$$\frac{e^{\sigma^2/2}-e^{-\sigma^2}}{e^{\sigma^2/2}-1}$$\sigma^2$$\frac{3}{2}\sigma^2$$\frac{1}{2}\sigma^2$$\sigma^2$

Há um número razoável de distribuições conhecidas - muitas das quais a Pearson estava familiarizada -, das quais é quase verdade para uma ampla gama de valores de parâmetros; ele notou isso com a distribuição gama, mas teria a ideia confirmada quando viesse a examinar várias outras distribuições que provavelmente consideraria.

[1]: Pearson, K. (1895),
"Contribuições para a Teoria Matemática da Evolução, II: Variação Inclinada em Material Homogêneo",
Transações Filosóficas da Royal Society, Série A, 186, 343-414
[Fora dos direitos autorais. Disponível gratuitamente aqui ]

Esse relacionamento não foi derivado. Percebeu-se que ele mantinha aproximadamente distribuições quase simétricas empiricamente . Veja a exposição de Yule em A introdução à teoria da estatística (1922), p.121, capítulo VII, seção 20. Ele apresenta o exemplo empírico.