Distribuição da soma dos exponenciais independentes com número aleatório de somas

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Deixei τiexp(λ) ser exponenciais independentes e identicamente distribuídos com o parâmetro λ. Então, por certon, a soma desses valores

Tn:=i=0nτi
segue uma distribuição Erlang com função de densidade de probabilidade
π(Tn=T|n,λ)=λnTn1eλT(n1)!for T,λ0.

Estou interessado na distribuição de Tn~ Onde n~ é uma variável aleatória tal que para τaexp(λa) distribuído exponencialmente, sustenta que

Tn~τaTn~+1>τa.

Em outras palavras, Tn~é truncado por uma distribuição exponencial. Eu falho em derivar a distribuição den~ mas talvez haja uma maneira mais fácil:

π(n~=k)=π(Tn<τa|n=k)=1R+n=0k11n!exp((λ+λa)τa)(τλa)nλadτa.

No entanto, apenas a amostragem e os olhares me parecem que essa densidade não é tão feia:

iter <- 20000

lambda_a <- 1
lambda <- 2

df <- data.frame(tau=rep(NA, iter), a=rep(NA, iter))

for(i in 1:iter){
    set.seed(i)
    a <- rexp(1, rate = lambda_a)
    s <- cumsum(rexp(500, rate = lambda))

    df[i,] <- c(max(s[1], s[s<a]), a)
}

library(tidyverse)

ggplot(df %>% gather(), aes(x = value, fill = key)) +
geom_density(alpha = .3) + theme_bw()

insira a descrição da imagem aqui

muffin1974
fonte
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Eu recomendaria não usar a mesma notação para ambos τi e a soma τn.
brazofuerte 22/02/19
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Um nome mais padrão para o Erlang é a distribuição Gamma.
Xian

Respostas:

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Conforme detalhado nesta resposta validada por X , aguardando uma soma de ID exponencialE(λ) variáveis ​​para exceder um produz um Poisson P(λ) variado N. Portanto, aguardando uma soma de ID exponencialE(λ) variáveis ​​a exceder τa produz um Poisson P(τaλ) variado N, condicional em τa (desde a divisão da soma por τa montantes para multiplicar o parâmetro exponencial por τa. Portanto

P(N=n)=0P(N=n|τa)λaeλaτadτa=0(λτa)nn!eτaλλaeλaτadτa=λaλnn!0τaneτa(λ+λa)dτa=λaλnn!Γ(n+1)(λa+λ)n+1=λaλn(λa+λ)n+1
que é um geométrico G(λa/{λa+λ})variável aleatória. (Aqui a variável geométrica é um número de falhas, o que significa que seu suporte começa em zero.)

Considerando agora N como um número geométrico de tentativas, N1, a distribuição de

ζ=i=1Nτi
o momento gerando função de ζ é
E[ezζ]=E[ez{τ1++τN}]=EN[Eτ1[ezτ1]N]=EN[{λ/(λz)}N]=EN[eN(lnλln(λz))]
e o mgf de um geométrico G(p) variado é
φN(z)=pez1(1p)ez
Daí a função geradora de momento de ζ é
pelnλln(λz)1(1(λa/{λa+λ}))elnλln(λz)=pλλzλ2/{λa+λ}
Onde p=λa/{λa+λ}, o que leva ao mfg
λλa/{λa+λ}λzλλa/{λa+λ}2=11z(pλ)1
significa que ζ é um exponencial E(λλa/{λa+λ}) variado.

Xi'an
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Muito obrigado @ Xi'an! Eu entendi direito que na sua notaçãop=λa/(λa+λ)? Porque então a função geradora de momento na última linha é equivalente a11z(pλ)1que corresponde ao MGF de uma distribuição exponencial.
muffin1974 22/02/19