Quando e implica ?

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A questão:

XndX eYndY?Xn+YndX+Y

Eu sei que isso não se aplica em geral; O teorema de Slutsky só se aplica quando uma ou ambas as convergências estão em probabilidade.

No entanto, existem casos em que isso ocorre ?

Por exemplo, se as seqüências e forem independentes.XnYn

mai
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Respostas:

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Formalizando a resposta @Ben, a independência é quase uma condição suficiente, porque sabemos que a função característica da soma de dois RV independentes é o produto de suas funções marginais. Seja . Sob independência de e ,

Zn=Xn+Yn
XnYn

ϕZn(t)=ϕXn(t)ϕYn(t)

assim

limϕZn(t)=lim[ϕXn(t)ϕYn(t)]

e temos (desde que assumimos que e convergem)XnYn

lim[ϕXn(t)ϕYn(t)]=limϕXn(t)limϕYn(t)=ϕX(t)ϕY(t)

qual é a função característica de ... se são independentes. E eles serão independentes se um dos dois tiver uma função de distribuição contínua ( veja este post ). Essa é a condição necessária além da independência das seqüências, para que a independência seja preservada no limite.X+Y X+Y

Sem independência teríamos

ϕZn(t)ϕXn(t)ϕYn(t)

e nenhuma afirmação geral pode ser feita sobre o limite.

Alecos Papadopoulos
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Ótima resposta (+1). Eu acho que com esse método também vale a pena notar que a suposição mais fraca (independência assintótica) vai diretamente para o seu segundo passo e também fornece o resultado . Isso mostra que a independência assintótica é suficiente para a propriedade desejada. limϕZn=limϕXnϕYn
Ben - Restabelece Monica
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O teorema de Cramer-Wold fornece uma condição necessária e suficiente:

Seja uma sequência de variáveis ​​aleatórias avaliadas porEm seguida, {zn}RK

zndzλzndλzλRK{0}

Para dar um exemplo, deixe e defina , bem como . Em seguida, temos trivialmente e, devido à simetria da distribuição normal padrão, esse No entanto, não converge na distribuição, pois Esta é uma aplicação do Dispositivo Cramer-Wold para .UN(0,1)Wn:=UVn:=(1)nU

WndU
VndU.
Wn+Vn
Wn+Vn={2UN(0,4)forneven0fornodd
λ=(1,1)

Christoph Hanck
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5

Sim, a independência é suficiente: as condições antecedentes aqui dizem respeito à convergência na distribuição para as distribuições marginais de e . A razão pela qual a implicação geralmente não se sustenta é que não há nada nas condições antecedentes que lide com a dependência estatística entre os elementos das duas seqüências. Se você fosse impor independência das seqüências, isso seria suficiente para garantir a convergência na distribuição da soma.{Xn}{Yn}

( Alecos adicionou uma excelente resposta abaixo que comprova esse resultado usando funções características. A independência assintótica também é suficiente para essa implicação, uma vez que ocorre a mesma decomposição limitante das funções características.)

Ben - Restabelecer Monica
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A independência das sequências pode não ser suficiente. Você também precisa de independência da limitando e . Se as seqüências são independentes, mas você está cozinhado. XYX=Y
cara
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A conclusão de que é o cdf de Na resposta do @Alecos, baseia-se no fato de que e são independentes. Portanto, exige que e sejam independentes, se o modo de convergência for . Suponha que e sejam iid , então e , mas enquanto . φXφYX+YXYXYdXnYnN(0,1)XndX1YndX1Xn+YndN(0,2)X+Y=0
cara
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@Alecos Se você concorda que eles convergem para um , você concorda trivialmente que ambos convergem na distribuição para por definição. Eles também convergem na distribuição para e para todas as outras variáveis ​​aleatórias. A convergência na distribuição não é como outros modos de convergência; você pode convergir na distribuição para muitas variáveis ​​aleatórias diferentes; a variável aleatória limitante nem precisa ser definida no mesmo espaço de probabilidade. A única coisa única é a distribuição marginal . N(0,1)X1X1N(0,1)
cara
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@Alecos em outras palavras, observe que a distribuição de nem sequer é bem definida apenas falando sobre as seqüências serem independentes. Você pode ter e sem fazer nenhuma suposição sobre a estrutura de dependência de e , mesmo se você fizer suposições fortes sobre a dependência de e . Tudo o que fizemos é fixado para baixo as marginais de e . X+YXnXYnYXYXnYnXY
cara
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Oh; Eu acho que entendi. Você está dizendo que preciso de uma condição adicional sobre a independência de e para que minha declaração original seja mantida na questão. Entre em contato se eu entendi corretamente. XY
mai