Posso interpretar a inclusão de um termo quadrático na regressão logística como indicando um ponto de virada?

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Em uma regressão logística apenas com termos lineares e quadráticos, se eu tiver um coeficiente linear e um coeficiente quadrático β 2 , posso dizer que existe um ponto de viragem da probabilidade em - β 1 / ( 2 β 2 ) ?β1β2β1/(2β2)

FZo
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Respostas:

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Sim você pode.


O modelo é

Pr(Y=1)=11+exp([β0+β1x+β2x2]).

Quando é diferente de zero, ele apresenta um extremo global em x = - β 1 / ( 2 β 2 ) .β2x=β1/(2β2)

A regressão logística estima esses coeficientes como . Como esta é uma estimativa de probabilidade máxima (e as estimativas de funções dos parâmetros de ML são as mesmas funções das estimativas), podemos estimar que a localização do extremo está em - b 1 / ( 2 b 2 ) .(b0,b1,b2)b1/(2b2)

Um intervalo de confiança para essa estimativa seria interessante. Para conjuntos de dados grandes o suficiente para que a teoria da máxima verossimilhança assintótica seja aplicada, podemos encontrar os pontos finais desse intervalo reexpressando no formatoβ0+β1x+β2x2

β0+β1x+β2x2=β0β12/(4β2)+β2(x+β1/(2β2))2=β+β2(x+γ)2

e descobrir quanto pode variar antes que a probabilidade do log diminua demais. "Demais" é, assintoticamente, metade do quantil 1 - α / 2 de uma distribuição qui-quadrado com um grau de liberdade.γ1α/2

Essa abordagem funcionará bem, desde que os intervalos de abranjam ambos os lados do pico e haja um número suficiente de respostas 0 e 1 entre os valores de y para delinear esse pico. Caso contrário, a localização do pico será altamente incerta e as estimativas assintóticas podem não ser confiáveis.x01y


R1/212(0.05)=0.905000.91, indicando que o método está funcionando bem (para os tipos de dados simulados aqui).

n <- 50            # Number of observations in each trial
beta <- c(-1,2,2)  # Coefficients
x <- seq(from=-3, to=3, length.out=n)
y0 <- cbind(rep(1,length(x)), x, x^2) %*% beta

# Conduct a simulation.
set.seed(17)
sim <- replicate(500, peak(x, rbinom(length(x), 1, logistic(y0)), alpha=0.05))

# Post-process the results to check the actual coverage.
tp <- -beta[2] / (2 * beta[3])
covers <- sim["lcl",] <= tp & tp <= sim["ucl",]
mean(covers, na.rm=TRUE) # Should be close to 1 - 2*alpha

# Plot the distributions of the results.
par(mfrow=c(2,2))
plot(x, logistic(y0), type="l", lwd=2, col="#4040d0", main="Simulated Data",ylim=c(0,1))
points(x, rbinom(length(x), 1, logistic(y0)), pch=19)
hist(sim["peak.x",], main="Estimates"); abline(v=tp, col="Red")
hist(sim["lcl",], main="Lower Confidence Limits"); abline(v=tp, col="Red")
hist(sim["ucl",], main="Upper Confidence Limits"); abline(v=tp, col="Red")

Resultados

logistic <- function(x) 1 / (1 + exp(-x))

peak <- function(x, y, alpha=0.05) {
  #
  # Estimate the peak of a quadratic logistic fit of y to x
  # and a 1-alpha confidence interval for that peak.
  #
  logL <- function(b) {
    # Log likelihood.
    p <- sapply(cbind(rep(1, length(x)), x, x*x) %*% b, logistic)
    sum(log(p[y==1])) + sum(log(1-p[y==0]))
  }
  f <- function(gamma) {
    # Deviance as a function of offset from the peak.
    b0 <- c(b[1] - b[2]^2/(4*b[3]) + b[3]*gamma^2, -2*b[3]*gamma, b[3])
    -2.0 * logL(b0)
  }
  # Estimation.
  fit <- glm(y ~ x + I(x*x), family=binomial(link = "logit"))
  if (!fit$converged) return(rep(NA,3))

  b <- coef(fit)
  tp <- -b[2] / (2 * b[3])

  # Two-sided confidence interval:
  # Search for where the deviance is at a threshold determined by alpha.
  delta <- qchisq(1-alpha, df=1)
  u <- sd(x)
  while(fit$deviance - f(tp+u) + delta > 0) u <- 2*u # Find an upper bound
  l <- sd(x)
  while(fit$deviance - f(tp-l) + delta > 0) l <- 2*l # Find a lower bound
  upper <- uniroot(function(gamma) fit$deviance - f(gamma) + delta, 
                   interval=c(tp, tp+u))
  lower <- uniroot(function(gamma) fit$deviance - f(gamma) + delta, 
                   interval=c(tp-l, tp))

  # Return a vector of the estimate, lower limit, and upper limit.
  c(peak=tp, lcl=lower$root, ucl=upper$root)
}
whuber
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+1, ótima resposta. Você menciona algumas advertências sobre a abordagem assintótica; o que você acha de iniciar o IC em casos como este? Certa vez, fiz isso para mostrar que o pico de uma curva quadrática adequada para um grupo era maior que o do outro grupo.
gung - Restabelece Monica
Pode funcionar, @gung, mas a teoria do bootstrapping também é para amostras grandes. Na sua aplicação, talvez um teste de permutação possa ser justificado.
whuber
Legal. Mas o ponto de virada não pode estar fora do intervalo de dados? E então seria perigoso extrapolar.
Peter Flom - Restabelece Monica
@ Peter Isso mesmo, e é por isso que comentei que "essa abordagem funcionará bem, desde que os intervalos de x cubram os dois lados do pico".
whuber
@ Whuber Opa, eu senti falta disso. Desculpe
Peter Flom - Reinstate Monica