O valor absoluto de uma série estacionária também é estacionário?

Eu sei que transformações lineares de séries temporais decorrentes de processos estacionários (fracamente) também são estacionárias. Isso é verdade, no entanto, para uma transformação de uma série, usando também o valor absoluto de cada elemento? Em outras palavras, se está estacionário, então estacionário?$\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$$\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$

Em um caso específico, isso é um pouco verdadeiro:

Se sua série temporal estiver estacionária com erro normalmente distribuído, os valores absolutos da série temporal original seguirão uma distribuição normal dobrada estacionária. Uma vez que mesmo fracos meios de estacionariedade tanto a média ea variância são constantes ao longo do tempo, os valores absolutos também será parado. Para outras distribuições, isso significa que os valores absolutos da série temporal original são pelo menos fracamente estacionários, pois a variação constante dos valores originais se traduz em uma média constante dos novos valores.

No entanto, se sua série temporal original tiver apenas uma média constante, a variação poderá mudar ao longo do tempo, o que afetará a média dos valores absolutos. Portanto, os valores absolutos não serão (fracamente) estacionários.

Uma resposta mais geral exigiria algum estudo da função geradora de momento do valor absoluto de uma variável aleatória. Talvez alguém com mais experiência matemática possa responder a isso.

Seja uma série temporal em que é uma variável aleatória discreta assumindo valores com igual probabilidade . É facilmente verificado que e e, portanto, o processo é fracamente estacionário. Obviamente, também não é estritamente estacionário, pois e ,$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$$X_n$$\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$$\frac 14$$E[X_n] = 0$

Para o processo fracamente estacionário descrito acima, o processo não está fracamente estacionário porque não é uma constante necessária para uma estacionariedade fraca (embora seja verdade que a função de autocorrelação seja um função de sozinho).$\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$$E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$$E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$$n$

Por outro lado, como observado por @bananach em um comentário sobre a questão principal, se a estacionariedade é interpretada como estacionariedade estrita , então a estacionariedade estrita de implica que também é um processo estritamente estacionário. Processos estritamente estacionários com variação finita também são processos fracamente estacionários e, portanto, para esta subclasse, é verdade que estacionariedade fraca de implica estacionariedade fraca de . Mas, como descrito na primeira parte desta resposta, nem sempre se pode concluir que estacionariedade fraca de$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$$\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$$\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$$\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$implica estacionariedade fraca de .$\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$

A resposta é não. Isso pode ser visto considerando uma sequência de r.vs. com sua distribuição marginal tomada em uma família paramétrica, dependendo de três parâmetros. Para obter um exemplo genérico, podemos considerar uma distribuição que pode ser parametrizada usando os dois primeiros momentos junto com o momento absoluto . Podemos então manter os dois primeiros parâmetros constantes enquanto o terceiro depende de .$X_i$$\mathbb{E}[|X|]$$\mathbb{E}[|X_i|]$$i$

Como exemplo específico, podemos usar uma distribuição discreta com suporte ; os três momentos , e expressam como combinações lineares das quatro probabilidades . Como as três combinações lineares são linearmente independentes, podemos usar os três momentos para redefinir o parâmetro conforme desejado.$\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$$\mathbb{E}[X]$$\mathbb{E}[X^2]$$\mathbb{E}[|X|]$$p_k := \text{Pr}\{X = k\}$

Como vários outros demonstraram, a estacionariedade fraca não permanece necessariamente quando você obtém o valor absoluto da série temporal. A razão para isso é que a obtenção do valor absoluto de cada elemento da série temporal pode alterar a média e a variação de maneira não uniforme, devido a diferenças nas distribuições subjacentes dos valores. Embora fraco estacionariedade não transfere ao longo desta forma, vale a pena nada que forte estacionariedade não permanecer sob a transformação do valor absoluto.