Por que não usamos a distribuição t para construir um intervalo de confiança para uma proporção?

Para calcular o intervalo de confiança (IC) para média com desvio padrão populacional desconhecido (dp), estimamos o desvio padrão populacional empregando a distribuição t. Notavelmente, que . Porém, como não temos uma estimativa pontual do desvio padrão da população, estimamos através da aproximação que$CI=\bar{X} \pm Z_{95\% }\sigma_{\bar X}$$\sigma_{\bar X} = \frac{\sigma}{\sqrt n}$$CI=\bar{X} \pm t_{95\% }(se)$$se = \frac{s}{\sqrt n}$

De forma contrastante, para a proporção da população, para calcular o IC, aproximamos como que fornecida e$CI = \hat{p} \pm Z_{95\% }(se)$$se = \sqrt\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}$$n \hat{p} \ge 15$$n(1-\hat{p}) \ge 15$

Minha pergunta é: por que somos complacentes com a distribuição padrão para proporção populacional?

As distribuições padrão Normal e Student t são aproximações bastante pobres da distribuição de

para $n,$ pequeno , tão ruim que o erro diminui as diferenças entre essas duas distribuições.

Aqui é uma comparação de todas as três distribuições (omitindo os casos onde ou são zero, em que a razão é indefinido) para n = 10 , p = 1 / 2 :$\hat p$$1-\hat p$$n=10, p=1/2:$

A distribuição "empírica" é o de $Z,$ que devem ser discretas porque a estimativas p estão limitadas ao conjunto finito { 0 , 1 / n , 2 / n , ... , N / N } .$\hat p$$\{0, 1/n, 2/n, \ldots, n/n\}.$

A distribuição $t$ parece fazer um trabalho melhor de aproximação.

Para $n=30$ e $p=1/2,$ você pode ver a diferença entre as distribuições padrão Normal e t de Student é completamente insignificante:

Como a distribuição Student t é mais complicada do que o Normal normal (é realmente uma família inteira de distribuições indexadas pelos "graus de liberdade", exigindo anteriormente capítulos inteiros de tabelas em vez de uma única página), o Normal normal é usado para quase todas as aproximações.

A justificativa para usar a distribuição t no intervalo de confiança para uma média depende da suposição de que os dados subjacentes seguem uma distribuição normal, o que leva a uma distribuição qui-quadrado ao estimar o desvio padrão e, portanto, $\frac{\bar{x}-\mu}{s/ \sqrt{n}} \sim t_{n-1}$. Esse é um resultado exato sob a suposição de que os dados são exatamente normais, o que leva a intervalos de confiança com exatamente 95% de cobertura ao usar$t$e menos de 95% de cobertura ao usar$z$.

No caso de intervalos de Wald para proporções, você só tem normalidade assintótica para p - p$\frac{\hat{p}- p}{\sqrt{ \hat{p}(1-\hat{p} )/n}}$quando n é suficientemente grande, o que depende de p. A probabilidade real de cobertura do procedimento, uma vez que as contagens subjacentes de sucessos são discretas, está algumas vezes abaixo e algumas vezes acima da probabilidade nominal de cobertura de 95%, dependendo do valor desconhecido$p$. Portanto, não há justificativa teórica para o uso de$t$, e não há garantia de que, do ponto de vista prático, o uso de$t$apenas para aumentar os intervalos ajude a alcançar uma cobertura nominal de 95%.

A probabilidade de cobertura pode ser calculada exatamente, embora seja bastante simples simulá-la. O exemplo a seguir mostra a probabilidade de cobertura simulada quando n = 35. Isso demonstra que a probabilidade de cobertura para o uso do intervalo z é geralmente um pouco menor que 0,95, enquanto a probabilidade de cobertura para o intervalo t geralmente pode ser menor, próximo a 0,95, em média, dependendo de suas crenças anteriores sobre os valores plausíveis de p .

Tanto o AdamO quanto o jsk dão uma ótima resposta.

Eu tentaria repetir seus pontos com inglês simples:

Quando a distribuição subjacente é normal, você sabe que existem dois parâmetros: média e variância . A distribuição T oferece uma maneira de deduzir a média sem saber o valor exato das variações. Em vez de utilizar as variações reais, apenas de exemplo meios e amostras variâncias são necessários. Por ser uma distribuição exata, você sabe exatamente o que está recebendo. Em outras palavras, a probabilidade de cobertura está correta. O uso de t simplesmente reflete o desejo de contornar a variação desconhecida da população.

Quando fazemos inferência em proporção, no entanto, a distribuição subjacente é binomial. Para obter a distribuição exata, é necessário observar os intervalos de confiança de Clopper-Pearson. A fórmula que você fornece é a fórmula para o intervalo de confiança de Wald. Ele usa a distribuição normal para aproximar a distribuição binomial, porque a distribuição normal é a distribuição limitadora da distribuição binomial. Nesse caso, como você está apenas aproximando, o nível extra de precisão do uso de estatísticas t se torna desnecessário, tudo se resume ao desempenho empírico. Como sugerido na resposta do BruceET, o Agresti-Coull é hoje uma fórmula simples e padrão para essa aproximação.

Meu professor Dr. Longnecker, do Texas A&M, fez uma simulação simples para ilustrar como as diferentes aproximações funcionam em comparação com o IC baseado em binômio.

Mais informações podem ser encontradas no artigo Estimativa de intervalos para uma proporção binomial em Statistical Science , vol. 16, pp.101-133, por L. Brown, T. Cai e A. DasGupta. Basicamente, o IC AC é recomendado para n> = 40.

$X_1, X_2, \dots X_n$$\mu$$\sigma$$H_0:\mu = \mu_0$$H_a: \mu \ne \mu_0$$Z = \frac{\bar X - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.$$H_0$$Z \sim \mathsf{Norm}(0,1),$$H_0$$|Z| \ge 1.96.$

$\mu$$\mu_0$$\mu.$$\bar X \pm 1.96\sigma/\sqrt{n},$$\pm 1.96$

$\sigma$$S,$$T=\frac{\bar X - \mu_0}{S/\sqrt{n}}.$$T$$n$$S$$\sigma.$

$T \sim \mathsf{T}(\nu = n-1),$$n-1$$\sigma$$\bar X \pm t^*S/\sqrt{n},$$\pm t^*$$\mathsf{T}(n-1).$

$n > 30,$$t^* \approx 2 \approx 1.96.$$S$$\sigma$$\sigma$$n > 30,$

$X$$n$$\hat p =X/n$$p.$$H_0:p = p_0$$H_a: p \ne p>0,$$Z = \frac{\hat p - p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}.$$H_0,$$Z \stackrel{aprx}{\sim} \mathsf{Norm}(0,1).$$H_0$$|Z| \ge 1.96.$

$p,$$\hat p \pm 1.96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$p$$n,$$\hat p$$p.$$\hat p \pm 1.96\sqrt{\frac{\hat p(1-\hat p)}{n}}.$$n$

$\check n = n+4$$\check p = (X+2)/\check n$$\check p \pm 1.96\sqrt{\frac{\check p(1-\check p)}{\check n}}.$

$\mu$$p$

$S$$\sigma$$\sigma$

$\hat p$$p$$\hat p$$p.$$p$$n.$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$

$\sigma$

Além disso, deve-se notar que esta pergunta reflete a resposta solicitada por essa pergunta .