Existem assintóticos de terceira ordem?

A maioria dos resultados assintóticos nas estatísticas prova que, como um estimador (como o MLE) converge para uma distribuição normal com base em uma expansão taylor de segunda ordem da função de probabilidade. Acredito que exista um resultado semelhante na literatura bayesiana, o "Teorema Bayesiano do Limite Central", que mostra que o posterior converge assintoticamente para um normal como$n \rightarrow \infty$$n \rightarrow \infty$

Minha pergunta é - a distribuição converge para algo "antes" de se tornar normal, com base no terceiro termo da série Taylor? Ou isso não é possível em geral?

Você está procurando a série Edgeworth, não é?

http://en.wikipedia.org/wiki/Edgeworth_series#Edgeworth_series

(note que Edgeworth morreu em 1926, deveria estar nos estatísticos mais famosos?)

Não é possível que uma sequência "converja" para uma coisa e depois para outra. Os termos de ordem superior em uma expansão assintótica serão zerados. O que eles dizem é como estão próximos de zero para qualquer valor dado de .$n$

Para o Teorema do Limite Central (como exemplo), a expansão apropriada é a do logaritmo da função característica: a função geradora cumulante (cgf). A padronização das distribuições corrige os zerotes, primeiro e segundo termos do cgf. Os termos restantes, cujos coeficientes são os cumulantes , dependem de maneira ordenada. A padronização que ocorre na CLT (dividindo a soma de n variáveis aleatórias por algo proporcional ao n 1 / 2 --without que a convergência não ocorrerá) faz com que o m th cumulant - que, afinal, depende m th momentos - a ser dividido por ( $n$$n$$n^{1/2}$$m^\text{th}$$m^\text{th}$ , mas ao mesmo tempo, porque estamos a somantermos, o resultado líquido é que o m th termo ordem é proporcional aN / N m / 2 = N - ( m - 2 ) / 2 . Assim, o terceiro cumulante da soma normalizada é proporcional a1 / n 1 / 2 , o quarto cumulante é proporcional a1 /$(n^{1/2})^m = n^{m/2}$$n$$m^\text{th}$$n/n^{m/2} = n^{-(m-2)/2}$$1/n^{1/2}$$1/n$, e assim por diante. Estes são os termos de ordem superior. (Para detalhes, consulte este artigo do Yuval Filmus, por exemplo.)

Em geral, uma alta potência negativa de é muito menor que uma baixa potência negativa. Sempre podemos ter certeza disso assumindo um valor suficientemente grande de n . Assim, para n realmente grande , podemos negligenciar todos os poderes negativos de n : eles convergem para zero. Ao longo do caminho de convergência, partidas do limite último são medidos com precisão cada vez maior por os termos adicionais: a 1 / n 1 / 2 prazo é uma "correcção" inicial ou de partida a partir do valor limite; o próximo 1 /$n$$n$$n$$n$$1/n^{1/2}$$1/n$termo é uma correção menor e mais rápida, adicionada a isso, e assim por diante. Em resumo, os termos adicionais fornecem uma imagem da rapidez com que a sequência converge para o seu limite.

Esses termos adicionais podem nos ajudar a fazer correções para valores finitos (geralmente pequenos) de . Mostram-se o tempo todo, a este respeito, tais como modificação do teste t de Chen , que explora a terceira ordem ( 1 / N 1 / 2 ) prazo.$n$$1/n^{1/2}$

Aqui está uma tentativa de responder sua pergunta perspicaz. Vi a inclusão do terceiro termo da série Taylor para aumentar a velocidade de convergência da série para a verdadeira distribuição. No entanto, eu não vi (na minha experiência limitada) o uso de terceiros e momentos superiores.

$n^{1/2}$$n^{1/2}$$n$

Portanto, acho que a resposta para sua pergunta deve ser não . A distribuição assintótica converge para uma distância normal (por CLT, sob condições de regularidade da CLT de Lindberg). No entanto, o uso de termos de ordem superior pode aumentar a taxa de convergência para a distribuição assintótica.

Definitivamente não é a minha área, mas tenho certeza de que existem assintóticos de terceira e superior ordem. Isso ajuda?

Robert L. Strawderman. Aproximação assintótica de ordem superior: Laplace, Saddlepoint e métodos relacionados Journal of the American Statistical Association vol. 95, n. 452 (dezembro de 2000), pp. 1358-1364