É possível executar uma regressão em que você possui uma variável de recurso desconhecida / desconhecida?

É possível executar uma regressão em que você possui uma variável de recurso desconhecida / desconhecida?

Diga que eu tenho $y_n = a_0 + a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3$ mas eu não / não posso medir o valor da variável do recurso $x_3$. Ainda posso realizar uma regressão para verificar os coeficientes$a_i$?

Que tal se eu tiver algum conhecimento das estatísticas de como $x_3$é distribuído? Se eu souber disso$x_3$ é extraído de uma distribuição gaussiana $\mathcal{N}(0, \sigma^2)$, com conhecidos $\sigma$ isso me permite executar a regressão para verificar os valores de $a_i$?

A fórmula completa para um modelo linear é (na forma de quase matriz)

Portanto, temos vários coeficientes para as variáveis ​​que estamos controlando e, em seguida, temos $\epsilon$, que é tudo o mais que não explicamos com nossas variáveis ​​incluídas.

Nesse termo de erro, pertencem todas as variáveis ​​que não consideramos, porque não temos informações para elas ou porque simplesmente não as conhecemos (desvio aleatório).

Portanto, não há como você saber o que neste termo pertence ao termo desconhecido.

Que tal se eu tiver algum conhecimento das estatísticas de como o x3 é distribuído?

Se você fizer a regressão de $y$ em $x_1$ e $x_2$, se você deseja adivinhar como $x_3$ se correlaciona com cada uma delas, é possível calcular o que essas suposições implicariam para como os coeficientes estimados mudariam se você pudesse observar $x_3$ e executou a regressão completa.

Suponha, por exemplo, que $x_3$ não está correlacionado com $x_1$. Então

$\alpha_{2, \text{your regression}} =\alpha_{2, \text{full regression}} + \alpha_3 \cdot \frac{cov(x_3, x_2)}{var(x_2)}$

Então se $x_3$ é provável que esteja apenas fracamente correlacionado com $y$ ou $x_1$ e $x_2$pouco mudaria. E, se for, você pode usar essas fórmulas de viés de variável omitida para prever como as coisas mudariam.

É sempre possível ... mas suas estimativas serão tendenciosas em muitos casos. O caso mais favorável ocorre:
(a) quando$x_{3n}$ não está correlacionado com os outros regressores, neste caso, regride $y_n$ em $(\iota,x_{1},x_{2})$ e você tem estimativas imparciais de $a_0,a_1,a_2$(Teorema de Frish-Waugh-Lovell)
(b) Se, além de (a) você sabe$\sigma$ e $x_3 \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$, você pode até identificar $a_3$: desenhar $N$ valores de iid para $x_{3n} \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)$ e regredir $y_n$ em $(\iota,x_{1},x_{2},x_{3})$.