Uma distribuição de probabilidade pode ter um desvio padrão infinito?

Eu acredito que é uma distribuição de probabilidade, onde $p[x]$

p [x] = \frac{1}{π (1 + x^{2})}

$\begin{equation} p[x] = \frac{1}{\pi (1+x^2)} \end{equation}$

já que é positivo em todos os lugares e se integra a 1 em . $-\infty, \infty$

A média é 0 por simetria, mesmo que a integração de em não converja. Isso é "suspeito", pois supõe-se que seja uma distribuição de probabilidade, mas razoável porque é que é conhecido por divergir. $xp[x]$ $-\infty, \infty$ $p[x]$ $xp[x]$ $O(1/x)$

O maior problema está na computação do desvio padrão. Como também diverge, pois é . $x^2 p[x]$ $x^2 p[x]$ $O(1)$

Se essa não é uma distribuição de probabilidade, por que não? Se for, seu desvio padrão é infinito?

A função de distribuição cumulativa é se isso ajudar. $\arctan[x]/\pi$

Alguém mencionou que isso pode ser uma distribuição gama, mas isso não está claro para mim.

distributions standard-deviation barrycarter
fonte

@ user1566: Formatei suas equações usando o LaTex. Você verifica se não introduzi erros?

csgillespie

Obrigado, o problema está resolvido, então não é mais um problema, mas sim, tudo parece bem.

Barrycarter #

A média de um Cauchy não é zero. De fato, não existe. Assim, nenhum de seus momentos centrais também.

cardeal

minha resposta a uma pergunta relacionada pode ser encontrada aqui. stats.stackexchange.com/questions/232967/…

Haitao Du

Respostas:

Para responder ao título da sua pergunta: Sim, uma distribuição de probabilidade pode ter um desvio padrão infinito (veja abaixo).

Seu exemplo é um caso especial da distribuição de Cauchy cuja média ou variação não existe. Defina o parâmetro de localização como 0 e a escala em 1 para o Cauchy chegar ao seu pdf.

fonte

Há uma diferença entre a média e a variância que não existem e elas são infinitas.

cardeal

$[-\infty,\infty]$ $f(x)=\frac{2}{x^3}$ $[1,\infty)$

Alex R.
fonte