Relaxamento lagrangiano no contexto da regressão de crista

Em "Os elementos do aprendizado estatístico" (2ª ed), p63, os autores apresentam as duas formulações a seguir do problema de regressão de crista:

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \left\{ \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 + \lambda \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \right\}$$

e

$$\hat{\beta}^{ridge} = \underset{\beta}{\operatorname{argmin}} \sum_{i=1}^N(y_i-\beta_0-\sum_{j=1}^p x_{ij} \beta_j)^2 \text{, subject to } \sum_{j=1}^p \beta_j^2 \leq t.$$

Alega-se que os dois são equivalentes, e que existe uma correspondência de um-para-um entre os parâmetros e t .$\lambda$$t$

Parece que a primeira formulação é um relaxamento lagrangiano da segunda. No entanto, nunca tive uma compreensão intuitiva de como ou por que os relaxamentos lagrangianos funcionam.

Existe uma maneira simples de demonstrar que as duas formulações são realmente equivalentes? Se eu tiver que escolher, prefiro intuição do que rigor.

Obrigado.

A correspondência pode ser mais facilmente mostrada usando o Teorema do Envelope .

Primeiro, o Lagrangiano padrão terá um termo adicional . Isso não afetará o problema de maximização se estivermos apenas tratando como determinado, portanto, Hastie et al.$\lambda \cdot t$$\lambda$

Agora, se você diferenciar o Lagrangiano completo em relação a , o Teorema do Envelope diz que você pode ignorar os efeitos indiretos de a , porque está no máximo. O que restará é o multiplicador Lagrange de .$t$$t$$\beta$$\lambda \cdot t$

Mas o que isso significa intuitivamente? Como a restrição se liga no máximo, a derivada do Lagrangiano, avaliada no máximo, é a mesma que a derivada do objetivo original. Portanto, o multiplicador de Lagrange fornece o preço de sombra - o valor em termos do objetivo - de relaxar a restrição aumentando .$t$

Suponho que essa seja a correspondência que Hastie et al. estão se referindo.