O título resume minha pergunta, mas para maior clareza, considere o seguinte exemplo simples. Deixe , i = 1, ..., n . Defina: \ begin {equação} S_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n X_i \ end {equação} e \ begin {equation} T_n = \ frac {1} {n} \ sum_ {i = 1} ^ n (X_i ^ 2 - 1) \ end {equation} Minha pergunta: Embora S_n e T_n sejam perfeitamente dependentes quando n = 1 , faça \ sqrt {n} S_n e \ sqrt {n} T_n convergem para uma distribuição normal conjunta como n \ rightarrow \ infty ?
A motivação: minha motivação para a pergunta decorre do fato de parecer estranho (mas maravilhoso) que e sejam perfeitamente dependentes quando , mas a implicação do CLT multivariado é que eles abordam a independência como (isso aconteceria, já que e não estão correlacionados para todos os ; portanto, se eles são normais assintoticamente comuns, eles também devem ser assintoticamente independentes).
Agradecemos antecipadamente por quaisquer respostas ou comentários!
ps, se você pode fornecer qualquer referência, etc, tanto melhor!
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Respostas:
A resposta curta, como eu entendo o seu q, é "sim, mas ..." as taxas de convergência em S, T e em qualquer outro momento não são necessariamente as mesmas - verifique os limites com o Teorema de Berry-Esseen .
Caso eu entenda mal o seu q, Sn e Tn se mantêm no CLT sob condições de fraca dependência (mistura): verifique o CLT da Wikipedia para processos dependentes .
CLT é um teorema geral - a prova básica requer nada mais do que a função característica de Sn e Tn converge para a função característica do padrão normal, então o Teorema da Continuidade de Levy diz que a convergência da função característica implica convergência da distribuição.
John Cook fornece uma ótima explicação do erro CLT aqui .
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Isso não prova nada, é claro, mas eu sempre acho que fazer simulações e plotar gráficos é muito útil para entender os resultados teóricos.
Este é um caso particularmente simples. Geramos variates normais aleatórias e calcular e ; repita vezes. Os gráficos são representados por e . É fácil ver a dependência enfraquecendo à medida que aumenta; em o gráfico é quase indistinguível da independência.n Sn Tn m n=1,10,100 1000 n n=100
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