Distribuição com

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Existe alguma informação lá fora sobre a distribuição cujo n º cumulant é dada por 1n ? A função geradora de cumulante é da forma

κ(t)=01etx1x dx.
Corri através dele como a distribuição limitadora de algumas variáveis ​​aleatórias, mas não consegui encontrar nenhuma informação sobre ele.
cara
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Não vejo que essa função κ(t) você forneceu possui a propriedade reivindicada! Você deve revisar seu trabalho. Aproximando o exponencial no integrando próximo a zero com 1+tx , o integrando próximo a zero se torna t/x , portanto é divergente. Portanto, essa integral não pode representar uma função geradora cumulante.
Kjetil b halvorsen
@kjetilbhalvorsen não tenho certeza que eu sigo. Aproximando com 1 + t xt xetx1+txpara o integrando. Além disso, de acordo comisso,a função que eu dei tem uma integral conhecida em termos de cosseno hiperbólico e integrais senoidais. Para mostrar queκ(t)possui a propriedade reivindicada, basta fazer uma série completa de Taylor em torno de0paraetxe pressionar a integral para somar para obter a série de Taylor paraκ(t) emtorno de0. txx=tκ(t)0etxκ(t)0
cara
sympy diz que a integral é divergente (à sua maneira excêntrica!). Mas o sympy deve estar errado, vejo agora, experimentado alguma integração numérica e funciona muito bem. Tentará novamente.
Kjetil b halvorsen
Olhando para o resultado dos alfas da Wolphram, ele também não pode estar correto, possui um limite diferente de zero quando t se aproxima de zero, enquanto claramente. κ(0)=0
Kjetil b halvorsen
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Eu acredito que é absolutamente contínuo em . É realizado como um limite de variáveis ​​aleatórias de Poisson compoud; como n um Poisson composto com taxa 1 1 / n 1(0,)ne densidade de distribuição de saltofn(x)11/n11x dxconverge fracamente para esta distribuição. fn(x)1xI(1/n<x<1)
cara

Respostas:

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Conhecer os valores dos cumulantes nos permite ter uma idéia de como será o gráfico dessa distribuição de probabilidade. A média e variância da distribuição é

E[Y]=κ1=1,Var[Y]=κ2=12

enquanto os seus coeficientes de assimetria e excesso de curtose são

γ1=κ3(κ2)3/2=(1/3)(1/2)3/2=223

γ2=κ4(κ2)2=(1/4)(1/2)2=1

Portanto, este poderia ser um gráfico familiar de uma variável aleatória positiva exibindo assimetria positiva. Como para encontrar a distribuição de probabilidade, a abordagem de um artesão poderia ser para especificar uma distribuição de probabilidade discreta genérica, tomando valores em , com probabilidades correspondentes { p 0 , p 1 , . . . , P m } ,{0,1,...,m} , e, em seguida, utilizar as cumulantes para calcular os momentos crus, com o objectivo de formar um sistema de equações lineares com as probabilidades sendo as incógnitas. Os cumulantes estão relacionados aos momentos brutos por κ n = μ n - n - 1 i = 1 ( n - 1{p0,p1,...,pm},k=0mpk=1

κn=μni=1n1(n1i1)κiμni
μ1=κ1=1μ2=κ2+κ12=3/2μ3=κ3+3κ2κ1+κ13=17/6μ4=κ4+4κ3κ1+3κ22+6κ2κ12+κ14=19/3μ5=κ5+5κ4κ1+10κ3κ2+10κ3κ12+15κ22κ1+10κ2κ13+κ15=243/15
If we (momentarily) set m=5 we have the system of equations

k=05pk=1,k=05pkk=1k=05pkk2=3/2,k=05pkk3=17/6k=05pkk4=19/3,k=05pkk5=243/15s.t.pk0k

Of course we do not want m to be equal to 5. But increasing gradually m (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

Alecos Papadopoulos
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This is cool. Maybe I could do some kind of Edgeworth expansion as well? Actually, I have an idea of what the density looks like already (assuming it exists) since I can simulate directly from it. It is very strange - it looks uniform over some range (0,a) and then on (a,) it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).
guy
Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for a?
Alecos Papadopoulos
Dug up my old code and found a1. If Yκ(t) then [YY<1] is approximatey U(0,1) and [Y1Y>1] is approximately gamma distributed with shape 1.4 and mean 0.64.
guy
What do you mean by Yκ(t)?
Alecos Papadopoulos
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So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?
wolfies