Existe um teste estatístico para comparar duas amostras de tamanho 1 e 3?

Para um projeto de ecologia, meu grupo de laboratório adicionou vinagre a 4 tanques contendo volumes iguais de água da lagoa, 1 controle sem elodea (uma planta aquática) e 3 tratamentos com a mesma quantidade de elodea em cada um. O objetivo de adicionar o vinagre era reduzir o pH. A hipótese era que os tanques com elodea retornariam ao pH normal mais rapidamente. Este foi realmente o caso. Medimos o pH de cada tanque diariamente por cerca de duas semanas. Todos os tanques acabaram retornando ao seu pH natural, mas o tempo que isso levou foi muito menor para os tanques com elodea.

Quando dissemos ao nosso professor sobre o nosso desenho experimental, ele disse que não existe teste estatístico que possa ser realizado nos dados para comparar o controle com o tratamento. Como não houve replicação para o controle (usamos apenas um tanque de controle), não podemos calcular a variação e, portanto, não podemos comparar as médias amostrais do controle e do tratamento. Então, minha pergunta é: isso é verdade? Eu definitivamente entendo o que ele quis dizer. Por exemplo, se você assumiu a altura de um homem e uma mulher, não pode tirar conclusões sobre as respectivas populações. Mas fizemos três tratamentos e a variação foi pequena. Parece razoável supor que a variação seria semelhante no controle?

Atualizar:

Obrigado pela excelente resposta. Obtivemos mais água e elodea do pantanal e decidimos que faríamos o experimento novamente com tanques menores, mas desta vez com 5 controles e 5 tratamentos. Íamos combinar isso com nossos dados originais, mas o pH inicial dos tanques era diferente o suficiente para não parecer válido considerar o novo experimento como amostra da mesma população que o experimento original.

Consideramos adicionar quantidades diferentes de elodea e tentar correlacionar a velocidade da correção do pH (medida como o tempo decorrido até o pH retornar ao seu valor original) com a quantidade de elodea, mas decidimos que não era necessário. Nosso objetivo é apenas mostrar que o elodea faz uma diferença positiva, não construir algum tipo de modelo preditivo para exatamente como o pH responde a diferentes quantidades de elodea. Seria interessante determinar a quantidade ideal de elodea, mas provavelmente é apenas a quantidade máxima que pode sobreviver. Tentar ajustar uma curva de regressão aos dados não seria especialmente esclarecedor por causa das várias alterações complicadas que ocorrem na comunidade ao adicionar uma grande quantidade. O elodea morre, se decompõe, novos organismos começam a dominar e assim por diante.

Observe a pergunta do gung; importa. Vou assumir que o tratamento foi o mesmo para todos os tanques no grupo de tratamento.

Se você pode argumentar que a variação seria igual para os dois grupos (o que você normalmente assumiria para um teste t de duas amostras de qualquer maneira), você pode fazer um teste. Você simplesmente não pode verificar essa suposição, por mais violenta que seja.

As preocupações expressas nesta resposta a uma pergunta relacionada são ainda mais relevantes para sua situação, mas há menos que você pode fazer sobre isso.

[Você pergunta se é razoável assumir que as variações são iguais. Não podemos responder isso para você, isso é algo que você teria que convencer os especialistas no assunto (ou seja, ecologistas) era uma suposição razoável. Existem outros estudos em que esses níveis foram medidos sob tratamento e controle? Outros em que testes semelhantes (testes t ou anova especialmente - aposto que você pode encontrar um precedente melhor) foram feitos ou foram feitas suposições semelhantes? Alguma forma de raciocínio geral que você pode aplicar?]

$\bar{x}$$\bar{y}$$\sigma^2$$\bar{x}-\bar{y}$$\mu_x - \mu_y$$\sigma^2 (1/n_x + 1/n_y)$$n$

$n_y$

$s_x$$t$$n_x - 1$

$\sigma$$s_x$$s_p$$n_y$

Editar:

Aqui está uma curva de potência simulada para este teste. O tamanho da amostra no nulo era 10000, nos outros pontos era 1000. Como você vê, a taxa de rejeição no nulo é 0,05, e a curva de potência, embora exija uma grande diferença na população significa ter poder decente, tem o forma correta. Ou seja, este teste faz o que é suposto.

(Edição final)

No entanto, com tamanhos de amostra tão pequenos, isso será um pouco sensível às suposições de distribuição.

Se você estiver preparado para fazer suposições diferentes ou quiser testar a igualdade de alguma outra quantidade populacional, ainda será possível realizar algum teste.

Portanto, nem tudo está perdido ... mas sempre que possível, geralmente é melhor ter pelo menos alguma replicação nos dois grupos.