pdf do produto de duas variáveis ​​aleatórias independentes, normal e qui-quadrado

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qual é o pdf do produto de duas variáveis ​​aleatórias independentes X e Y, se X e Y são independentes? X é distribuído normalmente e Y é qui-quadrado.

Z = XY

se X tem distribuição normal

XN(μx,σx2)
fX(x)=1σx2πe12(xμxσx)2
eYtem distribuição do Qui-quadrado comkgrau de liberdade
Yχk2
fY(y)=y(k/2)1ey/22k/2Γ(k2)u(y)
ondeu(y)é a função de passo unitário.

Agora, qual é o pdf de Z se X e Y são independentes?

Uma maneira de encontrar a solução é usar o resultado bem conhecido de Rohatgi (1976, p.141) se fXY(x,y) for o pdf conjunto de RVs contínuos X e Y , o pdf de Z for

fZ(z)=1|y|fXY(zy,y)dy

Uma vez que e Y são independentes f X Y ( x , y ) = f X ( x ) f Y ( y ) f Z ( z ) = - 1XYfXY(x,y)=fX(x)fY(y) fZ(z)=1

fZ(z)=1|y|fX(zy)fY(y)dy
Onde enfrentamos o problema de resolver a integral01
fZ(z)=1σx2π12k/2Γ(k2)01|y|e12(zyμxσx)2y(k/2)1ey/2dy
. Alguém pode me ajudar com este problema.01|y|e12(zyμxσx)2y(k/2)1ey/2dy

existe alguma maneira alternativa de resolver isso?

robin
fonte
2
Esse último passo não parece muito certo. " "parece significarfX, mas - mais importante - você não pode simplesmente alterar o limite inferior para0: é necessário dividir a integral em duas separadas em0, alterary-ypela queestiverna faixa negativa e, em seguida, combine osfXYfX00yy
dois.Acredito
Sim, isso foi um erro deve serfX(zfZY(zy). fX(zy)
robin
Mas acho que alterar o limite inferior para 0 é válido porque é uma função ativada em ( 0 , ), que é indicada pela função de passo unitário u ( y ) . fY(y)(0,)u(y)
robin
Eu não sou mais treinado para esse tipo de cálculo ... mas não parece possível terminar com uma fórmula fechada. Se você precisar disso para uma aplicação prática, acho que deveria se concentrar em "como calcular isso com eficiência".
Elvis
4
Existe alguma motivação para esta pergunta? Um Normal dividido por é t de um Aluno , mas por que você consideraria um Normal multiplicado ou dividido por χ 2 ? χtχ2
Xian

Respostas:

1

simplificar o termo na integral para

T=e12((zyμxσx)2y)yk/22

encontre o polinômio tal quep(y)

[p(y)e12((zyμxσx)2y)]=p(y)e12((zyμxσx)2y)+p(y)[12((zyμxσx)2y)]e12((zyμxσx)2y)=T

o que reduz a encontrar tal quep(y)

p(y)+p(y)[12((zyμxσx)2y)]=yk/22

ou

p(y)12p(y)(zμxσx2y2z2σx2y31)=yk/22

o que pode ser feito avaliando todos os poderes de separadamentey


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A solução acima não funcionará, pois diverge.

No entanto, alguns outros trabalharam nesse tipo de produto.

Usando a transformação Fourrier:

Schoenecker, Steven e Tod Luginbuhl. "Funções características do produto de duas variáveis ​​aleatórias gaussianas e do produto de uma variável aleatória gaussiana e gama." IEEE Signal Processing Letters 23.5 (2016): 644-647. http://ieeexplore.ieee.org/document/7425177/#full-text-section

Para o produto com XZ=XY e Y Γ ( α , β ) , obtiveram a função característica:XN(0,1)YΓ(α,β)

φZ=1βα|t|αexp(14β2t2)Dα(1β|t|)

com a função de Whittaker ( http://people.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_686.htm )Dα

Usando a transformação Mellin:

Springer e Thomson descreveram de maneira mais geral a avaliação de produtos de variáveis ​​aleatórias distribuídas beta, gama e gaussiana.

Springer, MD, e WE Thompson. "A distribuição de produtos de variáveis ​​aleatórias beta, gama e gaussiana". Jornal SIAM sobre Matemática Aplicada 18.4 (1970): 721-737. http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065

Eles usam a transformação integral de Mellin. A transformação Mellin de é o produto das transformadas Mellin de X e Y (consulte http://epubs.siam.org/doi/10.1137/0118065 ou https://projecteuclid.org/euclid.aoms/1177730201 ). Nos casos estudados de produtos, a transformação reversa deste produto pode ser expressa como uma função Meijer G, para a qual eles também fornecem e provam métodos computacionais.ZXY

Eles não analisaram o produto de uma variável distribuída gaussiana e gama, embora você possa usar as mesmas técnicas. Se eu tentar fazer isso rapidamente, acredito que deve ser possível obter uma função H ( https://en.wikipedia.org/wiki/Fox_H-function ), embora não veja diretamente a possibilidade de obter um G- funcionar ou fazer outras simplificações.

M{fY(x)|s}=2s1Γ(12k+s1)/Γ(12k)

e

M{fX(x)|s}=1π2(s1)/2σs1Γ(s/2)

você recebe

M{fZ(x)|s}=1π232(s1)σs1Γ(s/2)Γ(12k+s1)/Γ(12k)

e a distribuição de é:Z

fZ(y)=12πicic+iysM{fZ(x)|s}ds

que me parece (depois de uma alteração de variáveis ​​para eliminar o termo) como pelo menos uma função H232(s1)

o que resta ainda é o quebra-cabeça para expressar essa transformação inversa de Mellin como uma função G. A ocorrência de ambos e s / 2 complica este. No caso separado para um produto de variáveis distribuídas apenas as Gaussianas s / 2 pode ser transformado em s substituindo a variável X = w 2 . Mas, devido aos termos da distribuição do qui-quadrado, isso não funciona mais. Talvez seja por isso que ninguém forneceu uma solução para este caso.ss/2s/2sx=w2

Sextus Empiricus
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1
... qual produz ...?
wolfies
ele fornece a antiderivada do termo na integral que deve ser resolvida de acordo com a pergunta
Sextus Empiricus
Não está claro qual progresso essa análise representa. Você obtém uma solução ou não?
whuber
p(y)k