Média de rebatidas bayesianas antes

Eu queria fazer uma pergunta inspirada em uma excelente resposta à pergunta sobre a intuição para a distribuição beta. Eu queria entender melhor a derivação da distribuição anterior da média de rebatidas. Parece que David está fazendo o backup dos parâmetros da média e do intervalo.

Supondo que a média seja $0.27$ e o desvio padrão seja $0.18$ , você pode retirar $\alpha$ e $\beta$ resolvendo estas duas equações:

\frac{α}{α + β} = 0.27 \frac{α \cdot β}{(α + β)^{2} \cdot (α + β + 1)} = {0.18}^{2}

$\begin{equation} \frac{\alpha}{\alpha+\beta}=0.27 \\ \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2\cdot(\alpha+\beta+1)}=0.18^2 \end{equation}$

bayesian prior Dimitriy V. Masterov
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Honestamente, eu apenas continuei representando graficamente os valores em R até que parecesse correto.

David Robinson

onde você obtém o desvio padrão para 0,18?

appleLover

Como você chegou a esse desvio padrão? Você sabia disso com antecedência?

Maria Lavrovskaya 12/06

Respostas:

Notar que:

\frac{α \cdot β}{(α + β)^{2}} = (\frac{α}{α + β}) \cdot (1 - \frac{α}{α + β})

$\begin{equation} \frac{\alpha\cdot\beta}{(\alpha+\beta)^2}=(\frac{\alpha}{\alpha+\beta})\cdot(1-\frac{\alpha}{\alpha+\beta}) \end{equation}$

Isso significa que a variação pode, portanto, ser expressa em termos da média como

σ^{2} = \frac{μ \cdot (1 - μ)}{α + β + 1}

$\begin{equation} \sigma^2=\frac{\mu\cdot(1-\mu)}{\alpha+\beta+1} \\ \end{equation}$

Se você deseja uma média de $.27$ e um desvio padrão de $.18$ (variação $.0324$ ), basta calcular:

α + β = \frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} - 1 = \frac{.27 \cdot (1 - .27)}{.0324} - 1 = 5.083333

$\begin{equation} \alpha+\beta=\frac{\mu(1-\mu)}{\sigma^2}-1=\frac{.27\cdot(1-.27)}{.0324}-1=5.083333 \\ \end{equation}$

Agora que você sabe o total, $\alpha$ e $\beta$ são fáceis:

α = μ (α + β) = .27 \cdot 5.083333 = 1.372499 β = (1 - μ) (α + β) = (1 - .27) \cdot 5.083333 = 3.710831

$\begin{equation} \alpha=\mu(\alpha+\beta)=.27 \cdot 5.083333=1.372499 \\ \beta=(1-\mu)(\alpha+\beta)=(1-.27) \cdot 5.083333=3.710831 \end{equation}$

Você pode verificar esta resposta em R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907

David Robinson
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David, você segue alguma pesquisa de beisebol? Existem várias técnicas concorrentes disponíveis para encontrar o

adequado , então eu queria saber se você tem alguma opinião sobre o assunto se está fazendo algo além de apenas tentar encontrar um gráfico que pareça razoável.

α

$\alpha$

β

$\beta$

Michael McGowan

Eu particularmente não sigo a sabre- métrica - na outra resposta, isso acabou por fornecer um exemplo muito conveniente de estimar p de um binômio com um anterior. Eu nem sei se é assim que é feito na sabre- métrica e, se for, sei que há muitos componentes que deixei de fora (jogadores com antecedentes diferentes, ajustes de estádio, ponderando hits recentes sobre os antigos ...)

David Robinson

Estou impressionado que seu olhar foi tão preciso.

Dimitriy V. Masterov

Oi David, como você obtém esses valores de

para seus valores oculares no post vinculado de 81 e 219, respectivamente?

α = 1.37

$\alpha = 1.37$

β = 3.71

$\beta = 3.71$

2828 Alex

@Alex A variação solicitada e o desvio padrão vêm da pergunta acima, que solicitou um SD de 0,18, não a publicação da distribuição beta. Se eu estivesse a calcular em vez de eyeballing eu poderia ter imaginado um cartão SD de algo como 0,03, o que teria dado valores de 59 e 160.

David Robinson

Queria adicionar isso como um comentário sobre a excelente resposta, mas demorou muito e ficará melhor com a formatação da resposta.

Algo a ter em mente é que nem todos são possíveis. Está claro , mas não tão claras são as limitações para . $(\mu, \sigma^2)$ $\mu \in [0,1]$ $\sigma^2$

Usando o mesmo raciocínio que Davi, podemos expressar

σ^{2} (α, μ) = \frac{μ^{2} (1 - μ)}{α + μ}

$\sigma^2(\alpha, \mu) = \frac{\mu^2 (1-\mu)}{\alpha + \mu}$

Isso está diminuindo em relação a , então o maior pode ser para um dado é: $\alpha$ $\sigma^2$ $\mu$

lim_{α \to 0} σ^{2} (α, μ) = μ (1 - μ)

$\lim_{\alpha \rightarrow 0}\sigma^2(\alpha, \mu) = \mu(1-\mu)$

Este é apenas um supremo, uma vez que o conjunto de válido está aberto (ou seja, para Beta, devemos ter ); esse limite é ele próprio maximizado em $\alpha$ $\alpha > 0$ . $\mu = \frac12$

Observe o relacionamento com um VR Bernoulli correspondente. A distribuição Beta com média , uma vez que é forçada a assumir todos os valores entre 0 e 1, deve ser menos dispersa (ou seja, ter menor variação) do que o VR de Bernoulli com a mesma média (que tem toda a sua massa no final de o intervalo). De fato, enviando para 0 e corrigindo $\mu$ $\alpha$ equivale a colocar cada vez mais a massa do PDF perto de 0 e 1, ou seja, aproximando-se de uma distribuição de Bernoulli, razão pela qual o supremo da variação é exatamente a variação correspondente de Bernoulli. $\beta = \frac{1-\mu}{\mu} \alpha$

Em conjunto, eis o conjunto de médias e variações válidas para o Beta:

(Na verdade, isso é observado na página da Wikipedia para Beta )

MichaelChirico
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