Distinção conceitual entre heterocedasticidade e não estacionariedade

Estou tendo problemas para distinguir entre os conceitos de ceticismo e estacionariedade. Pelo que entendi, a heterocedasticidade é uma variabilidade variada nas subpopulações e a não estacionariedade é uma mudança / média / variação ao longo do tempo.

Se esse é um entendimento correto (embora simplista), a não estacionariedade é simplesmente um caso específico de heterocedasticidade ao longo do tempo?

Para fornecer definições precisas, deixe serem variáveis ​​aleatórias com valor real.$X_1, \ldots, X_n$

A estacionariedade geralmente é definida apenas se pensarmos no índice das variáveis ​​como tempo . Nesse caso, a sequência de variáveis ​​aleatórias é estacionária de tem a mesma distribuição que . Isso implica, em particular, que para todos têm a mesma distribuição marginal e, portanto, a mesma média e variação marginal (dado que eles têm um segundo momento finito).$X_1, \ldots, X_{n-1}$$X_2, \ldots, X_n$$X_i$$i = 1, \ldots, n$

O significado da heterocedasticidade pode depender do contexto. Se as variações marginais dos mudam com (mesmo que a média seja constante), as variáveis ​​aleatórias são chamadas heterocedásticas no sentido de não serem homoscedásticas.$X_i$$i$

Na análise de regressão, geralmente consideramos a variação da resposta condicionalmente nos regressores e definimos a heterocedasticidade como uma variação condicional não constante.

Na análise de séries temporais, em que a heterocedasticidade condicional da terminologia é comum, o interesse está tipicamente na variação de condicionalmente em . Se essa variação condicional não for constante, temos heterocedasticidade condicional. O modelo ARCH (heterocedasticidade condicional autoregressiva) é o exemplo mais famoso de um modelo de série temporal estacionária com variação condicional não constante.$X_k$$X_{k-1}, \ldots, X_1$

A heterocedasticidade (heterocedasticidade condicional em particular) não implica não estacionariedade em geral.

A estacionariedade é importante por vários motivos. Uma consequência estatística simples é que a média é então um estimador imparcial da expectativa (e assumindo ergodicidade , que é um pouco mais além da estacionariedade e frequentemente assumida implicitamente, a média é um estimador consistente da expectativa de ).

A importância da heterocedasticidade (ou homoscedasticidade) está, do ponto de vista estatístico, relacionada à avaliação da incerteza estatística, por exemplo, o cálculo dos intervalos de confiança. Se os cálculos forem realizados sob uma suposição de homoscedasticidade enquanto os dados realmente mostram heterocedasticidade, os intervalos de confiança resultantes podem ser enganosos.

Uma série temporal é estacionária se todas as suas propriedades estatísticas não dependerem da origem temporal. Se esse requisito não for atendido, a série temporal não será estacionária.

Mesmo uma série temporal estacionária não pode ser descrita com base em apenas um registro de amostra. Suas propriedades estatísticas devem ser analisadas através da média do conjunto de registros de amostra em diferentes origens temporais.

Se as propriedades estatísticas são as mesmas para qualquer registro de amostra individual e para o caso em que são determinadas através da média do conjunto, a série temporal é ergódica.

Como as propriedades estatísticas de uma série temporal heterocedáctica dependem do tempo, ela não é estacionária e, é claro, não ergódica. Suas propriedades determinadas para um único registro de amostra não podem ser estendidas ao seu comportamento passado e futuro.

Aliás, a análise de correlação / regressão não pode ser aplicada a séries temporais, pois a dependência entre elas (a função de coerência) depende da frequência e pode ser caracterizada através de equações (multivariadas) de equações de diferença estocástica (domínio temporal) ou da (s) função (s) de resposta em frequência (domínio da frequência).

Estender a análise de regressão desenvolvida para variáveis ​​aleatórias para séries temporais é errado (por exemplo, ver Bendat e Piersol, 2010; Box et al., 2015).

Existem 3 graus de estacionário. A forma fraca requer média e a variação é mantida constante. Isso significa que de três definições estacionárias são requisitos mais fortes que a heterocedasticidade, porque heterocedasticidade significa variação constante, sem referência à média.

Um processo pode ter heterocedasticidade. Mas se sua média não for constante, o processo não será (fracamente) estacionário.

Um processo estacionário (vamos denotar por 'S') implica homoscedasticidade (vamos denotar por 'H'). Então S -> H.

Naturalmente, sua contraposição também é verdadeira . Então H '-> S', isto é, não homoscedasticidade implica não estacionário.

Mas a inversão e a negação não são verdadeiras . Em outras palavras:

"Não estacionário implica não homoscedasticidade" não é verdade.

"Existe um processo estacionário que não é homoscedasticidade" não é verdade.