Como você calcula a expectativa de

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Se Xi é distribuído exponencialmente (i=1,...,n) com o parâmetro λ e Xi 's são independentes entre si, o que é a expectativa de

(i=1nXi)2

em termos de n e λ e possivelmente outras constantes?

Nota: Esta pergunta obteve uma resposta matemática em /math//q/12068/4051 . Os leitores também dariam uma olhada.

Isaac
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As duas cópias desta pergunta fazem referência uma à outra e, apropriadamente, o site de estatísticas (aqui) possui uma resposta estatística e o site de matemática possui uma resposta matemática. Parece uma boa divisão: deixe estar!
whuber

Respostas:

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Se , em seguida, (sob a independência), y = Σ x i ~ L um m m um ( n , 1 / λ ) , então Y é distribuído gama (ver Wikipedia ). Então, só precisamos de E [ y 2 ] . Como V a r [ y ] = E [ y 2 ] - ExiExp(λ)y=xiGamma(n,1/λ)yE[y2] , sabemos que E [ Y 2 ] = V um r [ Y ] + E [ Y ] 2 . Portanto, E [ y 2 ] = n / λ 2 + n 2 / λ 2 = n ( 1 + n ) / λ 2 (consulte aWikipediapara obter as expectativas e as variações da distribuição gama).Var[y]=E[y2]E[y]2E[y2]=Var[y]+E[y]2E[y2]=n/λ2+n2/λ2=n(1+n)/λ2

Wolfgang
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Obrigado. Uma maneira muito clara de responder à pergunta (levando à mesma resposta) também foi fornecida no math.stackexchange (link acima na pergunta) alguns minutos atrás.
Wolfgang
2
A resposta matemática calcula as integrais usando linearidade de expectativa. De certa forma, é mais simples. Mas eu gosto da sua solução porque ela explora o conhecimento estatístico : porque você sabe que uma soma de variáveis ​​exponenciais independentes tem uma distribuição gama, está pronto.
whuber
1
Gostei bastante e não sou de forma alguma um estatístico ou um matemático.
Kortuk
resposta muito elegante.
Cyrus S
1
@Dilip O matemático tende a ver essa pergunta pedindo uma integral e passa diretamente para integrá-la. O estatístico reexpressa-o em termos de quantidades estatísticas familiares, como a variação e as relações estatísticas familiares, como que o exponencial é gama e a família gama é fechada por convolução. As respostas são as mesmas, mas as abordagens são completamente diferentes. Depois, há a questão do que "fazer uma integração" realmente significa. Por exemplo, essa integral complicada é feita puramente algebricamente.
whuber
9

A resposta acima é muito boa e responde completamente à pergunta, mas, em vez disso, fornecerei uma fórmula geral para o quadrado esperado de uma soma e a aplicarei ao exemplo específico mencionado aqui.

Para qualquer conjunto de constantes é um factoa1,...,an

(i=1nai)2=i=1nj=1naiaj

this is true by the Distributive property and becomes clear when you consider what you're doing when you calculate (a1+...+an)(a1+...+an) by hand.

Therefore, for a sample of random variables X1,...,Xn, regardless of the distributions,

E([i=1nXi]2)=E(i=1nj=1nXiXj)=i=1nj=1nE(XiXj)

desde que essas expectativas existam.

X1,...,Xn are iid exponential(λ) random variables, which tells us that E(Xi)=1/λ and var(Xi)=1/λ2 for each i. By independence, for ij, we have

E(XiXj)=E(Xi)E(Xj)=1λ2

There are n2n of these terms in the sum. When i=j, we have

E(XiXj)=E(Xi2)=var(Xi)+E(Xi)2=2λ2

and there are n of these term in the sum. Therefore, using the formula above,

E(i=1nXi)2=i=1nj=1nE(XiXj)=(n2n)1λ2+n2λ2=n2+nλ2

is your answer.

Macro
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3

This problem is just a special case of the much more general problem of 'moments of moments' which are usually defined in terms of power sum notation. In particular, in power sum notation:

s1=i=1nXi

Then, irrespective of the distribution, the original poster seeks E[s12] (provided the moments exist). Since the expectations operator is just the 1st Raw Moment, the solution is given in the mathStatica software by:

enter image description here

[ The '___ToRaw' means that we want the solution presented in terms of raw moments of the population (rather than say central moments or cumulants). ]

Finally, if X ~ Exponential(λ) with pdf f(x):

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} &&  > 0};

then we can replace the moments μi in the general solution sol with the actual values for an Exponential random variable, like so:

enter image description here

All done.


P.S. The reason the other solutions posted here yield an answer with λ2 in the denominator rather than the numerator is, of course, because they are using a different parameterisation of the Exponential distribution. Since the OP didn't state which version he was using, I decided to use the standard distribution theory textbook definition Johnson Kotz et al … just to balance things out :)

wolfies
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