Se é distribuído exponencialmente com o parâmetro e 's são independentes entre si, o que é a expectativa de
em termos de e e possivelmente outras constantes?
Nota: Esta pergunta obteve uma resposta matemática em /math//q/12068/4051 . Os leitores também dariam uma olhada.
Respostas:
Se , em seguida, (sob a independência), y = Σ x i ~ L um m m um ( n , 1 / λ ) , então Y é distribuído gama (ver Wikipedia ). Então, só precisamos de E [ y 2 ] . Como V a r [ y ] = E [ y 2 ] - Exi∼Exp(λ) y=∑xi∼Gamma(n,1/λ) y E[y2] , sabemos que E [ Y 2 ] = V um r [ Y ] + E [ Y ] 2 . Portanto, E [ y 2 ] = n / λ 2 + n 2 / λ 2 = n ( 1 + n ) / λ 2 (consulte aWikipediapara obter as expectativas e as variações da distribuição gama).Var[y]=E[y2]−E[y]2 E[y2]=Var[y]+E[y]2 E[y2]=n/λ2+n2/λ2=n(1+n)/λ2
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A resposta acima é muito boa e responde completamente à pergunta, mas, em vez disso, fornecerei uma fórmula geral para o quadrado esperado de uma soma e a aplicarei ao exemplo específico mencionado aqui.
Para qualquer conjunto de constantes é um factoa1,...,an
this is true by the Distributive property and becomes clear when you consider what you're doing when you calculate(a1+...+an)⋅(a1+...+an) by hand.
Therefore, for a sample of random variablesX1,...,Xn , regardless of the distributions,
desde que essas expectativas existam.
There aren2−n of these terms in the sum. When i=j , we have
and there aren of these term in the sum. Therefore, using the formula above,
is your answer.
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This problem is just a special case of the much more general problem of 'moments of moments' which are usually defined in terms of power sum notation. In particular, in power sum notation:
Then, irrespective of the distribution, the original poster seeksE[s21] (provided the moments exist). Since the expectations operator is just the 1st Raw Moment, the solution is given in the mathStatica software by:
[ The '___ToRaw' means that we want the solution presented in terms of raw moments of the population (rather than say central moments or cumulants). ]
Finally, ifX ~ Exponential(λ ) with pdf f(x) :
then we can replace the momentsμi in the general solution
sol
with the actual values for an Exponential random variable, like so:All done.
P.S. The reason the other solutions posted here yield an answer withλ2 in the denominator rather than the numerator is, of course, because they are using a different parameterisation of the Exponential distribution. Since the OP didn't state which version he was using, I decided to use the standard distribution theory textbook definition Johnson Kotz et al … just to balance things out :)
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