O que se entende por "nível" de uma série temporal?

Em boa parte da literatura que estou estudando, é um desses termos que ocorre com frequência e ainda sem uma definição rigorosa a ser encontrada. Especificamente, me disseram:

Para variáveis ​​aleatórias indexadas no tempo (RVs) , o modelo de decomposição aditiva é dado como$\{X_t\}$

$$X_t = {ll}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots) + {fc}(X_{t-1}, X_{t-2}, \ldots, \varepsilon_t, \varepsilon_{t-1}, \ldots)$$

Onde

• é onível de longo prazo, que é um processo estocástico e pode ser visualizado como uma versão suavizada de { X t } , para não ser confundido comtendênciasque são padrões determinísticos$ll$$\{X_t\}$
• é ocomponente de flutuaçãoque representa mudanças nonível local, assumidasestacionáriase comnível médio zero$fc$
• sãoinovaçõese são RVs com média zero de IID$\{\varepsilon_t\}$

Mas qual é a diferença de significado entre tendência versus nível de longo prazo vs. nível local vs. nível médio ?

Além disso, o componente de flutuação e as inovações não modelam a mesma coisa, qual é o ruído associado a cada observação? Então, por que complicar as coisas, incluindo os dois?

Isso tem a ver com a ordem da integração . Um processo estocástico é dito para ser integrado de ordem 0 , equivalentemente X t ~ I ( 0 ) , se ela estiver parada. Se X t ~ I ( d ) com d > 0 , d ∈ N , diz-se que o processo está integrado na ordem d e é então não estacionário. A decomposição acima tenta filtrar os componentes estacionários (como componente de flutuação e inovações) e o componente de tendência estocástica não estacionária. UMA$X_t$$0$$X_t$$I(0)$$X_t$$I(d)$$d>0, d \in \mathbb{N}$$d$tendência estocástica é diferente de uma tendência determinística , e o uso da palavra tendência na passagem é desleixado.

Agora, isso faz tudo parecer mais complicado do que é. Vamos considerar um exemplo. Tome ~ ( 0 , σ 2 ) como um processo de ruído branco e deixar ε t ser i i d . Defina o seguinte polinômio de atraso$\varepsilon_t$$(0,\sigma^2)$$\varepsilon_t$$iid$

$$\begin{align} C_1(L) &= 0.5L + 0.25L^2 -0.75L^3 -0.05 L^4 \\ \end{align}$$

O operador lag trabalha com variáveis ​​aleatórias indexadas no tempo como L k ε : = ε t - k . Suponha agora que X t é gerado como$L$$L^k\varepsilon:=\varepsilon_{t-k}$$X_t$

$$\begin{align} X_t = X_{t-1} + C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t \end{align}$$

Em seguida, usando a terminologia de seu trecho, o nível de longo prazo seria definida por , o componente sazonal / flutuação por C 1 ( L ) ε t e as inovações por ε t . Conforme descrito no trecho, o componente de flutuação e as inovações são estacionárias.$X_{t-1}$$C_1(L)\varepsilon_t$$\varepsilon_t$

A razão pela qual é chamada dessa maneira é um pouco difícil de ver sem fazer mais observações e se relaciona com a ordem de integração acima mencionada. Normalmente, não encontramos processos integrados de pedidos maiores que ou 2 , portanto, vamos considerar o exemplo acima da ordem de integração 1 .$1$$2$$1$

Primeiro, defina . u t é estacionário, de modo u t ~ I ( 0 ) . Agora podemos escrever X $u_t := C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$$u_t$$u_t$$I(0)$ isso nos diz queXt~I(1), porque a sua primeira diferença é integrada de ordem0. O significado disso pode ser difícil de entender, até que se perceba o queΔXt=utrealmente significa. Isso significa que é possível reescrever X

$$\begin{align} X_t &= X_{t-1} + u_t \Longleftrightarrow\\ X_t - X_{t-1} &= (1-L)X_t = \Delta X_t = u_t \\ \end{align}$$ $X_t$$I(1)$$0$$\Delta X_t = u_t$ Isso pode não parecer dramático:E(Xt)=0, depois de tudo! No entanto, a variação deste processonãoéfinita e explode para∞. É por isso que dizemos que o termo define uma tendência estocástica: embora não seja determinístico (como, por exemplo, uma tendência linear),Xtsó será estacionário depois de filtrarmos o componente não-estacionário e o subtrairmos deX $$\begin{align} X_t &= \sum_{i=1}^{\infty} \Delta X_t = \sum_{i=1}^{\infty} u_t\\ \end{align}$$ $\mathbb{E}(X_t) = 0$$\infty$$X_t$$X_{t}$. (Nesse caso, como observado anteriormente, filtraria o componente não estacionário e seria estacionário.) Se você não fizer isso , seus procedimentos usuais de inferência estatística não funcionam mais, pois X t irá convergir para um movimento browniano pelo princípio da invariância / Teorema do Limite Central Funcional. Esses resultados substituem os resultados CLR padrão para regressões automáticas, problemas de cointegração e assim por diante.$\Delta X_t = X_t - X_{t-1}=C_1(L)\varepsilon_t + \varepsilon_t$$X_{t}$