Sinto-me um pouco desconfortável com a maneira como lidei mentalmente com o paradoxo de Borel e outros "paradoxos" associados que lidam com probabilidade condicional. Para aqueles que estão lendo isso que não estão familiarizados com isso, consulte este link . Minha resposta mental até esse momento foi principalmente ignorá-la, porque ninguém parece falar sobre isso, mas acho que devo corrigir isso.
Sabemos que esse paradoxo existe e, no entanto, parece que na prática (como exemplo extremo, análise bayesiana) estamos perfeitamente bem condicionando eventos de medida ; se X são meus dados, condicionamos X = x o tempo todo, mesmo que este seja um evento de medida 0 quando X é contínuo. E certamente não fazemos nenhum esforço para construir uma sequência de eventos convergentes para o evento que observamos para resolver o paradoxo, pelo menos não explicitamente.
Acho que está tudo bem, porque fixamos essencialmente a variável aleatória (em princípio) antes do experimento e, portanto, estamos condicionando σ ( X ) . Ou seja, σ ( X ) é o σ- álgebra natural para condicionar porque a informação X = x está sendo usada através de X - se tivesse chegado a nós de alguma outra maneira, condicionaríamos um σ- álgebra diferente . O paradoxo de Borel surge porque (eu acho) não é óbvio em que a σ- álgebra apropriada deve ser condicionada, mas o bayesiano especificou σ . Como estamos especificando a priori que a informação X = x chegou até nóspor meio da medição de X , estamos em claro. Depois de especificarmos a σ- álgebra, está tudo bem; construímos nossa expectativa condicional usando Radon-Nikodym e tudo é um conjunto exclusivo de conjuntos nulos.
Isso é essencialmente certo ou estou longe? Se estou longe, qual é a justificativa para se comportar como nós? [Dada a natureza das perguntas e respostas deste site, considere isso como minha pergunta.] Quando tomei minha probabilidade teórica da medida, por alguma razão que não entendo, nunca tocamos nas expectativas condicionais. Como resultado, estou preocupado que minhas idéias estejam muito confusas.
Respostas:
Como bayesiano, eu diria que o paradoxo de Borel não tem nada (ou muito pouco) a ver com estatísticas bayesianas. Exceto que as estatísticas bayesianas usam distribuições condicionais, é claro. O fato de não haver paradoxo na definição de uma distribuição posterior como condicional em um conjunto de medidas zero é que x não é escolhido antecipadamente, mas como resultado da observação. Assim, se queremos usar definições exóticas para as distribuições condicionais em conjuntos de medidas zero, há zero chance de que esses conjuntos contenham x{X=x} x x que iremos observar no final. A distribuição condicional é definida de maneira única em quase todos os lugares e, portanto, quase certamente deu errado à nossa observação. Este também é o significado da (grande) citação de A. Kolmogorov na entrada da Wikipedia.
Um ponto na análise bayesiana em que as sutilezas da teoria da medida podem se transformar em paradoxo é a representação de Savage-Dickey do fator Bayes, pois depende de uma versão específica da densidade anterior (conforme discutido em nosso artigo sobre o tópico ...)
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