Estudante t como mistura de gaussiana

Usando a distribuição t do aluno com graus de liberdade, o parâmetro de localização le os parâmetros de escala s têm densidade$k > 0$$l$$s$

$$\frac{\Gamma \left(\frac{k+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{k}{2}\sqrt{k \pi s^2}\right)} \left\{ 1 + k^{-1}\left( \frac{x-l}{s}\right)\right\}^{-(k+1)/2},$$

Como mostram que o estudante -distribuição pode ser escrito como uma mistura de distribuições de Gauss, permitindo que X ~ N ( μ , σ 2 ) , τ = 1 / σ 2 ~ Γ ( α , β ) , e integrando a densidade conjunta f ( x , τ | μ ) para obter a densidade marginal f ( x | μ ) ? Quais são os parâmetros do resultado $t$$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$\tau = 1/\sigma^2\sim\Gamma(\alpha,\beta)$$f(x,\tau|\mu)$$f(x|\mu)$$t$-distribuição, como funções de ?$\mu,\alpha,\beta$

Perdi-me no cálculo integrando a densidade condicional conjunta com a distribuição gama.

O PDF de uma distribuição Normal é

$$f_{\mu, \sigma}(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu )^2}{2 \sigma ^2}}dx$$

mas em termos de é$\tau = 1/\sigma^2$

$$g_{\mu, \tau}(x) = \frac{\sqrt{\tau}}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{\tau(x-\mu )^2}{2 }}dx.$$

O PDF de uma distribuição Gamma é

$$h_{\alpha, \beta}(\tau) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}e^{-\frac{\tau}{\beta }} \tau^{-1+\alpha } \beta ^{-\alpha }d\tau.$$

Seu produto, ligeiramente simplificado com álgebra fácil, é, portanto,

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x,\tau) =\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)\sqrt{2 \pi}} e^{-\tau\left(\frac{(x-\mu )^2}{2 } + \frac{1}{\beta}\right)} \tau^{-1/2+\alpha}d\tau dx.$$

Sua parte interna evidentemente tem a forma , tornando-a uma função Gamma múltipla quando integrada em toda a faixa τ = 0 a τ = ∞ . Essa integral, portanto, é imediata (obtida por saber que a integral de uma distribuição Gamma é unidade), fornecendo a distribuição marginal$\exp(-\text{constant}_1 \times \tau) \times \tau^{\text{constant}_2}d\tau$$\tau=0$$\tau=\infty$

$$f_{\mu, \alpha, \beta}(x) = \frac{\sqrt{\beta } \Gamma \left(\alpha +\frac{1}{2}\right) }{\sqrt{2\pi } \Gamma (\alpha )}\frac{1}{\left(\frac{\beta}{2} (x-\mu )^2+1\right)^{\alpha +\frac{1}{2}}}.$$

Tentar corresponder ao padrão fornecido para a distribuição mostra que há um erro na pergunta: o PDF da distribuição t de Student é na verdade proporcional a$t$

$$\frac{1}{\sqrt{k} s }\left(\frac{1}{1+k^{-1}\left(\frac{x-l}{s}\right)^2}\right)^{\frac{k+1}{2}}$$

(a potência de é 2 , não 1 ). Combinando os termos indica k = 2 α , l = μ , e s = 1 / $(x-l)/s$$2$$1$$k = 2 \alpha$$l=\mu$ .$s = 1/\sqrt{\alpha\beta}$

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Observe que nenhum cálculo era necessário para essa derivação: tudo era uma questão de procurar as fórmulas dos PDFs Normal e Gama, realizando algumas manipulações algébricas triviais envolvendo produtos e potências e padrões correspondentes em expressões algébricas (nessa ordem).

$t$$k$$Y$$Y$$X$$t(k)$$X$$\sqrt Y$$\Phi$$Y$$IG(k/2,k/2)$$\Phi$

$0$

$$\sqrt{1/\tau} X =Y$$ $\tau$$Y$$\tau$$\tau$$\sqrt{1/\tau} X$ $$\tau \sim \Gamma(\alpha, \beta) \sim \frac{\beta}{2} \Gamma(\alpha, 2) \sim \frac{\beta}{2} \chi^2(2\alpha)$$ $$Y \sim X \frac{1}{\sqrt{(\beta/2) \chi^2(2\alpha)} }$$ $$= \frac{ X \sqrt{\alpha \beta} }{\sqrt{ \chi^2_{2\alpha}/(2\alpha)}}$$ $k=2\alpha$$s=1/\sqrt{\alpha \beta}$$\mu$$l$