Imaginei que responderia a um post independente aqui para qualquer pessoa interessada. Isso usará a notação descrita aqui .

Introdução

A idéia por trás da retropropagação é ter um conjunto de "exemplos de treinamento" que usamos para treinar nossa rede. Cada um deles tem uma resposta conhecida, para que possamos conectá-los à rede neural e descobrir o quanto estava errado.

Por exemplo, com o reconhecimento de manuscrito, você teria muitos caracteres manuscritos ao lado do que eles realmente eram. Em seguida, a rede neural pode ser treinada via retropropagação para "aprender" como reconhecer cada símbolo; portanto, quando mais tarde for apresentada com um caracter manuscrito desconhecido, ela poderá identificar o que é corretamente.

Especificamente, inserimos algumas amostras de treinamento na rede neural, vemos o quão bom foi e, em seguida, "retrocedemos" para descobrir o quanto podemos alterar os pesos e a polarização de cada nó para obter um resultado melhor e, em seguida, ajustá-los de acordo. Enquanto continuamos a fazer isso, a rede "aprende".

Também existem outras etapas que podem ser incluídas no processo de treinamento (por exemplo, desistência), mas vou me concentrar principalmente na retropropagação, já que essa é a questão.

Derivados parciais

Uma derivada parcial é um derivado decom respeito a algumas variáveis $\frac{\partial f}{\partial x}$ $f$ $x$ .

Por exemplo, se , $f(x, y)=x^2 + y^2$ , porqueé simplesmente uma constante no que diz respeito a. Da mesma forma, $\frac{\partial f}{\partial x}=2x$ $y^2$ $x$ , porqueé simplesmente uma constante em relação a $\frac{\partial f}{\partial y}= 2y$ $x^2$ $y$ .

Um gradiente de uma função, designado , é uma função que contém a derivada parcial para cada variável em f. Especificamente: $\nabla f$

\nabla f (v_{1}, v_{2}, . . ., v_{n}) = \frac{\partial f}{\partial v_{1}} e_{1} + \dots + \frac{\partial f}{\partial v_{n}} e_{n}

$\nabla f(v_1, v_2, ..., v_n) = \frac{\partial f}{\partial v_1 }\mathbf{e}_1 + \cdots + \frac{\partial f}{\partial v_n }\mathbf{e}_n$

onde é um apontador vector unitário na direcção da variável . $e_i$ $v_1$

Agora, uma vez que temos calculado o para alguma função , se estamos na posição , nós podemos "deslizar" indo na direção . $\nabla f$ $f$ $(v_1, v_2, ..., v_n)$ $f$ $-\nabla f(v_1, v_2, ..., v_n)$

No nosso exemplo de , os vetores unitários são e , porque e , e esses vetores apontam na direção dos eixos e . Assim, $f(x, y)=x^2 + y^2$ $e_1=(1, 0)$ $e_2=(0, 1)$ $v_1=x$ $v_2=y$ $x$ $y$ . $\nabla f(x, y) = 2x (1, 0) + 2y(0, 1)$

Agora, para "deslizar" nossa função , digamos que estamos em um ponto . Então precisamos mover na direção $f$ $(-2, 4)$ . $-\nabla f(-2, -4)= -(2 \cdot -2 \cdot (1, 0) + 2 \cdot 4 \cdot (0, 1)) = -((-4, 0) + (0, 8))=(4, -8)$

A magnitude desse vetor nos dará a inclinação da colina (valores mais altos significam que a colina é mais íngreme). Nesse caso, temos . $\sqrt{4^2+(-8)^2}\approx 8.944$

Gradient Descent

Produto Hadamard

O Produto Hadamard de duas matrizes $A, B \in R^{n\times m}$ , é como adição de matriz, exceto que, em vez de adicionar as matrizes elemento a elemento, nós as multiplicamos elemento a elemento.

Formalmente, enquanto a adição da matriz é , onde tal que $A + B = C$ $C \in R^{n \times m}$

C_{j}^{i} = A_{j}^{i} + B_{j}^{i}

$C^i_j = A^i_j + B^i_j$

O Produto Hadamard , onde tal que $A \odot B = C$ $C \in R^{n \times m}$

C_{j}^{i} = A_{j}^{i} \cdot B_{j}^{i}

$C^i_j = A^i_j \cdot B^i_j$

Computando os gradientes

(a maior parte desta seção é do livro de Neilsen ).

Temos um conjunto de amostras de treino, , onde é um exemplo de formação de entrada única, e é o valor de saída esperado do que amostras de treino. Nós também temos nossa rede neural, composto por preconceitos , e pesos . é usado para evitar confusão dos , e usados na definição de uma rede de feedforward. $(S, E)$ $S_r$ $E_r$ $W$ $B$ $r$ $i$ $j$ $k$

Em seguida, definimos uma função de custo, que leva em nossa rede neural e um único exemplo de treinamento e mostra como ela foi boa. $C(W, B, S^r, E^r)$

Normalmente, o que é usado é o custo quadrático, definido por

C (W, B, S^{r}, E^{r}) = 0.5 \sum_{j} (a_{j}^{L} - E_{j}^{r})^{2}

$C(W, B, S^r, E^r) = 0.5\sum\limits_j (a^L_j - E^r_j)^2$

em que é a saída para a rede neural, dada entrada da amostra $a^L$ $S^r$

Então queremos encontrar e $\frac{\partial C}{\partial w^i_j}$ para cada nó na nossa alimentação de entrada da rede neural. $\frac{\partial C}{\partial b^i_j}$

Podemos chamar isso de gradiente de em cada neurônio porque consideramos e como constantes, pois não podemos alterá-las quando estamos tentando aprender. E isso faz sentido - queremos avançar em uma direção em relação a e que minimize o custo, e mover na direção negativa do gradiente em relação a e fará isso. $C$ $S^r$ $E^r$ $W$ $B$ $W$ $B$

Para fazer isso, definimos como o erro de neurónioem camada. $\delta^i_j=\frac{\partial C}{\partial z^i_j}$ $j$ $i$

Começamos com o cálculo de conectando à nossa rede neural. $a^L$ $S^r$

Em seguida, calculamos o erro de nossa camada de saída, , via $\delta^L$

δ_{j}^{L} = \frac{\partial C}{\partial a_{j}^{L}} σ^{'} (z_{j}^{L})

$\delta^L_j = \frac{\partial C}{\partial a^L_j} \sigma^{ \prime}(z^L_j)$

Que também pode ser escrito como

δ^{L} = \nabla_{a} C ⊙ σ^{'} (z^{L})

$\delta^L = \nabla_a C \odot \sigma^{ \prime}(z^L)$ .

Em seguida, encontramos o erro em termos do erro na próxima camada , via $\delta^i$ $\delta^{i+1}$

δ^{i} = ((W^{i + 1})^{T} δ^{i + 1}) ⊙ σ^{'} (z^{i})

$\delta^i=((W^{i+1})^T \delta^{i+1}) \odot \sigma^{\prime}(z^i)$

Agora que temos o erro de cada nó em nossa rede neural, é fácil calcular o gradiente com relação aos nossos pesos e desvios:

\frac{\partial C}{\partial w_{j k}^{i}} = δ_{j}^{i} a_{k}^{i - 1} = δ^{i} (a^{i - 1})^{T}

$\frac{\partial C}{\partial w^i_{jk}}=\delta^i_j a^{i-1}_k=\delta^i(a^{i-1})^T$

\frac{\partial C}{\partial b_{j}^{i}} = δ_{j}^{i}

$\frac{\partial C}{\partial b^i_j} = \delta^i_j$

Observe que a equação para o erro da camada de saída é a única equação dependente da função de custo; portanto, independentemente da função de custo, as três últimas equações são iguais.

Como exemplo, com custo quadrático, obtemos

δ^{L} = (a^{L} - E^{r}) ⊙ σ^{'} (z^{L})

$\delta ^L = (a^L - E^r) \odot \sigma ^ {\prime}(z^L)$

$L-1^{\text{th}}$

δ^{L - 1} = ((W^{L})^{T} δ^{L}) ⊙ σ^{'} (z^{L - 1})

$\delta^{L-1}=((W^{L})^T \delta^{L}) \odot \sigma^{\prime}(z^{L-1})$

= ((W^{L})^{T} ((a^{L} - E^{r}) ⊙ σ^{'} (z^{L}))) ⊙ σ^{'} (z^{L - 1})

$=((W^{L})^T ((a^L - E^r) \odot \sigma ^ {\prime}(z^L))) \odot \sigma^{\prime}(z^{L-1})$

which we can repeat this process to find the error of any layer with respect to $C$ , which then allows us to compute the gradient of any node's weights and bias with respect to $C$ .

I could write up an explanation and proof of these equations if desired, though one can also find proofs of them here. I'd encourage anyone that is reading this to prove these themselves though, beginning with the definition $\delta^i_j=\frac{\partial C}{\partial z^i_j}$ and applying the chain rule liberally.

For some more examples, I made a list of some cost functions alongside their gradients here.

Gradient Descent

Now that we have these gradients, we need to use them learn. In the previous section, we found how to move to "slide down" the curve with respect to some point. In this case, because it's a gradient of some node with respect to weights and a bias of that node, our "coordinate" is the current weights and bias of that node. Since we've already found the gradients with respect to those coordinates, those values are already how much we need to change.

We don't want to slide down the slope at a very fast speed, otherwise we risk sliding past the minimum. To prevent this, we want some "step size" $\eta$ .

Then, find the how much we should modify each weight and bias by, because we have already computed the gradient with respect to the current we have

Δ w_{j k}^{i} = - η \frac{\partial C}{\partial w_{j k}^{i}}

$\Delta w^i_{jk}= -\eta \frac{\partial C}{\partial w^i_{jk}}$

Δ b_{j}^{i} = - η \frac{\partial C}{\partial b_{j}^{i}}

$\Delta b^i_j = -\eta \frac{\partial C}{\partial b^i_j}$

Thus, our new weights and biases are

w_{j k}^{i} = w_{j k}^{i} + Δ w_{j k}^{i}

$w^i_{jk} = w^i_{jk} + \Delta w^i_{jk}$

b_{j}^{i} = b_{j}^{i} + Δ b_{j}^{i}

$b^i_j = b^i_j + \Delta b^i_j$

Using this process on a neural network with only an input layer and an output layer is called the Delta Rule.

Stochastic Gradient Descent

Now that we know how to perform backpropagation for a single sample, we need some way of using this process to "learn" our entire training set.

One option is simply performing backpropagation for each sample in our training data, one at a time. This is pretty inefficient though.

A better approach is Stochastic Gradient Descent. Instead of performing backpropagation for each sample, we pick a small random sample (called a batch) of our training set, then perform backpropagation for each sample in that batch. The hope is that by doing this, we capture the "intent" of the data set, without having to compute the gradient of every sample.

For example, if we had 1000 samples, we could pick a batch of size 50, then run backpropagation for each sample in this batch. The hope is that we were given a large enough training set that it represents the distribution of the actual data we are trying to learn well enough that picking a small random sample is sufficient to capture this information.

However, doing backpropagation for each training example in our mini-batch isn't ideal, because we can end up "wiggling around" where training samples modify weights and biases in such a way that they cancel each other out and prevent them from getting to the minimum we are trying to get to.

To prevent this, we want to go to the "average minimum," because the hope is that, on average, the samples' gradients are pointing down the slope. So, after choosing our batch randomly, we create a mini-batch which is a small random sample of our batch. Then, given a mini-batch with $n$ training samples, and only update the weights and biases after averaging the gradients of each sample in the mini-batch.

Formally, we do

Δ w_{j k}^{i} = \frac{1}{n} \sum_{r} Δ w_{j k}^{r i}

$\Delta w^{i}_{jk} = \frac{1}{n}\sum\limits_r \Delta w^{ri}_{jk}$

and

Δ b_{j}^{i} = \frac{1}{n} \sum_{r} Δ b_{j}^{r i}

$\Delta b^{i}_{j} = \frac{1}{n}\sum\limits_r \Delta b^{ri}_{j}$

where $\Delta w^{ri}_{jk}$ is the computed change in weight for sample $r$ , and $\Delta b^{ri}_{j}$ is the computed change in bias for sample $r$ .

Then, like before, we can update the weights and biases via:

w_{j k}^{i} = w_{j k}^{i} + Δ w_{j k}^{i}

$w^i_{jk} = w^i_{jk} + \Delta w^{i}_{jk}$

b_{j}^{i} = b_{j}^{i} + Δ b_{j}^{i}

$b^i_j = b^i_j + \Delta b^{i}_{j}$

This gives us some flexibility in how we want to perform gradient descent. If we have a function we are trying to learn with lots of local minima, this "wiggling around" behavior is actually desirable, because it means that we're much less likely to get "stuck" in one local minima, and more likely to "jump out" of one local minima and hopefully fall in another that is closer to the global minima. Thus we want small mini-batches.

On the other hand, if we know that there are very few local minima, and generally gradient descent goes towards the global minima, we want larger mini-batches, because this "wiggling around" behavior will prevent us from going down the slope as fast as we would like. See here.

One option is to pick the largest mini-batch possible, considering the entire batch as one mini-batch. This is called Batch Gradient Descent, since we are simply averaging the gradients of the batch. This is almost never used in practice, however, because it is very inefficient.

Phylliida
fonte

Algoritmo de retropropagação

Respostas:

Introdução

Derivados parciais

Produto Hadamard

Computando os gradientes

Gradient Descent

Stochastic Gradient Descent