Variância de duas variáveis ​​aleatórias ponderadas

Deixei:

Desvio padrão da variável aleatória$A =\sigma_{1}=5$

Desvio padrão da variável aleatória$B=\sigma_{2}=4$

Então a variação de A + B é:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Onde:

$p_{1,2}$ é a correlação entre as duas variáveis ​​aleatórias.

$w_{1}$ é o peso da variável aleatória A

$w_{2}$ é o peso da variável aleatória B

$w_{1}+w_{2}=1$

A figura abaixo mostra a variação de A e B conforme o peso de A muda de 0 para 1, para as correlações -1 (amarelo), 0 (azul) e 1 (vermelho).

Como a fórmula resultou em uma linha reta (vermelha) quando a correlação é 1? Tanto quanto eu posso dizer, quando , a fórmula simplifica para:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Como posso expressar isso na forma de ?$y=mx+c$

Obrigado.

Usando , calcule$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

Isso mostra que quando , o gráfico da variação versus (mostrado lateralmente na ilustração) é uma parábola centralizada em . Nenhuma parte de qualquer parábola é linear. Com e , o centro está em : bem abaixo do gráfico na escala em que é desenhado. Assim, você está olhando para um pequeno pedaço de uma parábola, que parecerá linear.$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

Quando , a variação é uma função linear de . Nesse caso, o gráfico seria um segmento de linha perfeitamente vertical.w $\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

BTW, você já sabia essa resposta, sem cálculo, porque os princípios básicos implicam que o gráfico de variação não pode ser uma linha, a menos que seja vertical. Afinal, não há proibição matemática ou estatística para restringir entre e : qualquer valor de determina uma nova variável aleatória (uma combinação linear das variáveis ​​aleatórias A e B) e, portanto, deve ter um valor não negativo por sua variação. Portanto, todas essas curvas (mesmo quando estendidas para toda a faixa vertical de ) devem estar à direita do eixo vertical. Isso exclui todas as linhas, exceto as verticais. 0 1 w 1 w $w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

Gráfico da variância para :$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

Não é linear. A fórmula diz que não é linear. Confie no seu instinto matemático!

Ele só aparece linear no gráfico por causa da escala, com e . Tente você mesmo: calcule as inclinações em alguns lugares e verá que elas diferem. Você pode exagerar a diferença escolhendo , digamos.σ 2 = 4 σ 1 = $\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

Aqui está um código R:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Se você gostaria de verificar algumas pistas:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1