Matriz de covariância para distribuição Gaussiana de processos e Wishart

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Estou lendo este artigo sobre Generalized Wishart Processes (GWP). O artigo calcula as covariâncias entre diferentes variáveis ​​aleatórias (seguindo o Processo Gaussiano ) usando a função de covariância exponencial ao quadrado, ou seja, . Diz então que essa matriz de covariância segue o GWP.K(x,x)=exp(|(xx)|22l2)

Costumava pensar que uma matriz de covariância calculada a partir da função de covariância linear ( )K(x,x)=xTx segue a distribuição de Wishart com parâmetros apropriados.

Minha pergunta é: como ainda podemos assumir que a covariância segue uma distribuição Wishart com função de covariância exponencial ao quadrado? Além disso, em geral, qual é a condição necessária para uma função de covariância produzir uma matriz de covariância distribuída Wishart?

peixe firme
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Respostas:

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O que se confunde é a especificação de covariância em termos do espaço ambiente no qual o processo gaussiano é definido e a operação que transforma uma variável aleatória gaussiana de dimensão finita para produzir uma distribuição Wishart.

Se é uma variável aleatória Gaussiana dimensional (um vetor de coluna) com média 0 e matriz de covariância , a distribuição de é uma distribuição Wishart . Observe que é uma matriz . Este é um resultado geral sobre como a forma quadrática transforma uma distribuição gaussiana em uma distribuição Wishart. É válido para qualquer escolha de matriz de covariância definida positiva . Se você tiver observações iidXN(0,Σ)pΣW=XXTWp(Σ,1)Wp×p

xxxT
ΣX1,,Xncom a distribuição de é um Wishart -distribuição. Dividindo por , obtemos a matriz de covariância empírica uma estimativa de .Wi=XiXiT
W1++Wn
Wp(Σ,n)nΣ

Para processos gaussianos, existe um espaço ambiente, digamos que seja , de modo que as variáveis ​​aleatórias consideradas sejam indexadas por elementos no espaço ambiente. Ou seja, consideramos um processo . É gaussiano (e por simplicidade, aqui com média 0) se suas distribuições marginais dimensionais finitas são gaussianas, isto é, se para todos os . A escolha da função de covariância , conforme mencionado pelo OP, determina a matriz de covariância, ou seja, R(X(x))xR

X(x1,,xp):=(X(x1),,X(xp))TN(0,Σ(x1,,xp))
x1,,xpR
cov(X(xi),X(xj))=Σ(x1,,xp)i,j=K(xi,xj).
Desconsiderando a escolha de a distribuição de será um Wishart -distribuição.K
X(x1,,xp)X(x1,,xp)T
Wp(Σ(x1,,xp),1)
NRH
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Obrigado por responder. Eu tenho algumas perguntas, reg. sua resposta - Quando você diz que a transformação que transforma dist gaussiana em Wishart dist vale para qualquer escolha de matriz cov definida + ve, que escolhas diferentes temos para essa matriz cov? Além disso, apenas para esclarecer - para a matriz cov definida pela função cov, iej indicam elementos no espaço ambiente do Processo Gaussiano (por exemplo, se for um processo temporal, instantes de tempo t_1 e t_2)?
steadyfish
@steadyfish, sim, os índices e referem-se aos pontos e no espaço ambiente, e para um processo temporal para dois pontos de tempo. Matrizes de covariância são sempre positivas (semi) definidas. A formulação não pretendia restringir o resultado de nenhuma maneira, mas sim enfatizar que ela vale para qualquer escolha de desde que seja uma matriz de covariância. Eu deixei de fora a possibilidade de que pode ser apenas semidefinida para evitar congestionar a resposta com questões irrelevantes em distribuições normais singulares etc.ijxixjΣ ΣΣ
NRH
Obrigado @NRH. Eu entendi o ponto sobre o espaço ambiente. Sobre a matriz de covariância, minha pergunta era se existe outra maneira de definir a matriz de covariância além de (e não sobre a propriedade definida positiva ou semidefinida positiva). (Espero que a questão é clara desta vez!)xTx
steadyfish
@ Steadyfish, oh, entendo. Na verdade, eu estava desleixado com as transposições e se os vetores eram vetores de linha ou coluna. Eu fiz isso preciso agora e acrescentei um pouco sobre a relação entre a matriz de covariância empírica e a matriz de covariância teórica. O teórico não é definido em termos das observações.
NRH 05/04