O que se confunde é a especificação de covariância em termos do espaço ambiente no qual o processo gaussiano é definido e a operação que transforma uma variável aleatória gaussiana de dimensão finita para produzir uma distribuição Wishart.
Se é uma variável aleatória Gaussiana dimensional (um vetor de coluna) com média 0 e matriz de covariância , a distribuição de é uma distribuição Wishart . Observe que é uma matriz . Este é um resultado geral sobre como a forma quadrática
transforma uma distribuição gaussiana em uma distribuição Wishart. É válido para qualquer escolha de matriz de covariância definida positiva . Se você tiver observações iidX∼N(0,Σ)pΣW=XXTWp(Σ,1)Wp×p
x↦xxT
ΣX1,…,Xncom a distribuição de
é um Wishart -distribuição. Dividindo por , obtemos a matriz de covariância empírica uma estimativa de .
Wi=XiXTiW1+…+Wn
Wp(Σ,n)n−Σ
Para processos gaussianos, existe um espaço ambiente, digamos que seja , de modo que as variáveis aleatórias consideradas sejam indexadas por elementos no espaço ambiente. Ou seja, consideramos um processo . É gaussiano (e por simplicidade, aqui com média 0) se suas distribuições marginais dimensionais finitas são gaussianas, isto é, se
para todos os . A escolha da função de covariância , conforme mencionado pelo OP, determina a matriz de covariância, ou seja,
R(X(x))x∈R
X(x1,…,xp):=(X(x1),…,X(xp))T∼N(0,Σ(x1,…,xp))
x1,…,xp∈Rcov(X(xi),X(xj))=Σ(x1,…,xp)i,j=K(xi,xj).
Desconsiderando a escolha de a distribuição de
será um Wishart -distribuição.
KX(x1,…,xp)X(x1,…,xp)T
Wp(Σ(x1,…,xp),1)