Testes de permutação de duas amostras de Kolmogorov-Smirnov

Embora seja mais fácil usar o teste do tipo qui-quadrado / Cressie-Read de Pearson, eu gostaria de testar a igualdade de proporções nas categorias em dois grupos usando um teste do tipo Kolmogorov-Smirnov da forma proposta por Pettitt & Stephens (1977 ) (veja também aqui ). $k$

Em particular, como apontam os autores desse artigo, ele pode ter algum poder contra alternativas de tendência. Portanto, o teste Kolmogorov-Smirnov / categórica de uma amostra tem a seguinte forma: onde é uma permutação da ordem das categorias, são as frequências observadas e esperadas (ou equivalente, proporção de observações) na categoria . Isso pode ser escrito de forma equivalente como: Gostaria de estender isso para um caso de duas amostras usando um procedimento de randomização / permutação, como:

D_{n} = sup_{π} sup_{1 \leq j \leq k} | \sum_{i = 1}^{j} (f_{e x p, π (i)} - f_{o b s, π (i)}) |

$D_n = \sup_{\pi}\sup_{1 \leq j \leq k}\vert \sum_{i=1}^j(f_{exp,\pi(i)}-f_{obs,\pi(i)})\vert$

π

$\pi$

f_{., i}

$f_{.,i}$

i

$i$

D_{n} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{k} | f_{e x p, i} - f_{o b s, i} |

$D_n = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^k\vert f_{exp,i}-f_{obs,i} \vert$

D_{n}^{(r)} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{k} | f_{group1, i}^{(r)} - f_{group2, i}^{(r)} |, r = 1, \dots, R

$D_n^{(r)} = \frac{1}{2} \sum_{i=1}^k\vert f^{(r)}_{\text{group1},i}-f^{(r)}_{\text{group2},i} \vert,\, r=1,\dots,R$ onde

.^{(r)}

$.^{(r)}$ denota uma estatística calculada com base na permutação

r^{th}

$r^{\text{th}}$ da variável categórica. Rejeite se o valor da estatística original for maior que o valor de

95 %

$95\%$ das estatísticas permutadas.

Quaisquer comentários sobre os prós / contras / validade de tal procedimento são muito bem-vindos. Obrigado.

hypothesis-testing mirtilo
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Respostas:

A resposta depende da natureza do processo de geração de dados e da hipótese alternativa que você tem em mente.

Seu teste é uma espécie de qui-quadrado não ponderado. Devido a essa falta de ponderação, será difícil detectar alterações que afetem principalmente as categorias menos populosas. Por exemplo, seu teste será muito menos poderoso do que o teste do qui-quadrado para uma mudança uniforme na localização, que é detectada principalmente por perceber que quase toda a probabilidade de uma cauda é deslocada para a outra cauda.

Por exemplo, suponha que suas categorias sejam intervalos inteiros indexados por e você esteja observando variáveis normais de variação unitária, mas média desconhecida. Por exemplo, 100 observações de uma variável normal padrão ocuparão principalmente as categorias a , embora você possa esperar que algumas ocupem as categorias e . Mesmo para uma grande mudança gritante de erros padrão ( ou seja , uma mudança na média de ), o poder do seu teste semelhante ao KD é de apenas cerca de 50% (quando ). $[i, i+1)$ $i$ $-2$ $1$ $-3$ $2$ $5$ $5/\sqrt{100} = 0.5$ $\alpha = 0.05$

É difícil conceber um cenário em que esse teste seja mais poderoso que o teste do qui-quadrado. Se você acha que está nessa situação, faça algumas simulações para descobrir qual é o poder e como ele se compara aos testes alternativos padrão.

whuber
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se eu entendi corretamente o que você escreveu, seria o mesmo para todos os ? também - eu posso ver como obter um valor crítico estimado de monte carlo para ; mas e ?

D_{n}^{(r)}

$D_n^{(r)}$

r

$r$

D_{n}

$D_n$

D_{n}^{(r)}

$D_n^{(r)}$

Ronaf

@ronaf Você poderia fornecer mais detalhes sobre ? O que é R? Não vejo que permutar as categorias faça absolutamente nada: observe que nenhuma permutação mudará a soma das diferenças absolutas de suas contagens.

D_{n}^{(r)}

$D_n^{(r)}$

whuber