Bons recursos (online ou livro) sobre os fundamentos matemáticos das estatísticas

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Antes de fazer minha pergunta, deixe-me apresentar um pouco do que sei sobre estatísticas, para que você tenha uma noção melhor dos tipos de recursos que estou procurando.

Sou estudante de psicologia e, como tal, uso estatísticas quase todos os dias. Até agora, estou familiarizado com uma ampla variedade de técnicas, principalmente porque elas são implementadas na estrutura geral de modelagem de equações estruturais. No entanto, meu treinamento foi no uso dessas técnicas e na interpretação dos resultados - não tenho muito conhecimento dos fundamentos matemáticos formais dessas técnicas.

No entanto, cada vez mais, eu tive que ler artigos das estatísticas adequadamente. Descobri que esses trabalhos geralmente assumem um conhecimento prático de conceitos matemáticos dos quais eu não conheço muito, como álgebra linear. Portanto, fiquei convencido de que, se eu quiser fazer mais do que usar cegamente as ferramentas que me foram ensinadas, seria útil aprender algumas das bases matemáticas da estatística.

Então, eu tenho duas perguntas relacionadas:

  1. Que técnicas matemáticas seriam úteis para eu saber se quero aprimorar os fundamentos matemáticos da estatística? Encontrei álgebra linear com bastante frequência e tenho certeza de que aprender sobre teoria das probabilidades seria útil, mas existem outras áreas da matemática que seriam úteis para eu aprender?
  2. Quais recursos (online ou em forma de livro) você pode me recomendar como alguém que deseja saber mais sobre os fundamentos matemáticos da estatística?
mathematical-statistics references Patrick S. Forscher
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Que matemática você já sabe?
Peter Flom - Restabelece Monica
Muito pouco. Conheço alguma álgebra linear leve como parte do aprendizado das extensões multivariadas do GLM. Porém, a maior parte do meu treinamento em estatística foi em um nível conceitual - ele foi direcionado para que eu entendesse como usar e interpretar resultados, não necessariamente para entender por que um determinado resultado (como o CLT) é verdadeiro.
Patrick S. Forscher
2
Álgebra linear, pelo menos algum cálculo básico, pelo menos um curso básico de probabilidade, álgebra linear, um pouco de simulação computacional, alguma teoria estatística e talvez alguma álgebra linear. Embora não seja crítico, alguma programação básica seria um trunfo. Na verdade, as perguntas geradas aqui pelos alunos tendem a sugerir muito do tipo de histórico necessário.
Glen_b -Reinstala Monica

Respostas:

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Matemáticas:

Grinstead & Snell, Introdução à Probabilidade (é grátis)

Strang, Introdução à Álgebra Linear

Strang, Calculus

Confira também Strang no MIT OpenCourseWare.

Teoria estatística (é mais do que apenas matemática):

Cox, Princípios de Inferência Estatística

Cox & Hinkley, Estatística Teórica

Geisser, Modos de Inferência Estatística Paramétrica

E eu segundo @ Casella & Berger de Andre.

Scortchi - Restabelecer Monica
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Obrigado, Scortchi. Parece uma ótima lista e era exatamente o tipo de coisa que eu estava procurando (+1).
Patrick S. Forscher
Boa. Os três primeiros são quase toda a matemática que eu conheço. E o quarto deve ser lido em conjunto com Casella & Berger - ênfases muito diferentes.
Scortchi - Restabelecer Monica
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Alguns tópicos importantes de estatística matemática são:

  • Família exponencial e suficiência.
  • Construção estimadora.
  • Testando hipóteses.

Referências sobre estatística matemática:

Andre Silva
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O MEV está (na minha opinião) muito distante da teoria tradicional das probabilidades e de algumas técnicas estatísticas básicas que se estendem facilmente (como estimativa de pontos, teoria de grandes amostras e estatística bayesiana). Eu acho que o SEM é o resultado de muita abstração de tais métodos. Além disso, penso que a razão pela qual tais abstrações eram necessárias foi por causa da grande demanda para entender melhor a inferência causal .

Eu acho que um livro que seria perfeito para alguém de sua formação seria a causalidade da Judea Pearl . Este livro aborda especificamente o SEM e as estatísticas multivariadas, desenvolve uma teoria de causalidade e inferência e é muito filosoficamente correto. Não é um livro de matemática, mas baseia-se fortemente na lógica e no contrafactual e desenvolve uma linguagem muito precisa para defender os modelos estatísticos.

Posso dizer, de um fundo matemático, que esses resultados são muito sólidos e não exigem uma compreensão abrangente do cálculo. Eu também acho que é irreal para alguém do seu pedigree acompanhar a matemática necessária quando você já é um estudante de graduação, é por isso que existem estatísticos!

AdamO
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Obrigado, isso parece um recurso útil. No entanto, parece que isso não está totalmente escrito no nível que eu quero. Eu já tenho uma abundância de recursos sobre como tirar conclusões apropriadas dos dados. O que estou perdendo é uma compreensão da matemática subjacente. Por exemplo, eu sei em geral que a estimativa de ML encontra os valores dos parâmetros que maximizam a probabilidade de observação dos dados, mas eu realmente não entendo como alguém encontra esses valores de parâmetro ou por que métodos diferentes de ML funcionam.
Patrick S. Forscher
Isso requer cálculo: diferenciação multivariada, integração e sequência e série infinitas. Além disso, você precisará de álgebra linear. Depois de ter isso em mente, você pode usar qualquer um dos textos básicos da teoria de pós-graduação em probabilidade e inferência. O mais comum é Casella, a "Inferência Estatística" de Berger. Este é um compromisso de três anos pelo menos para obter as matemáticas necessárias acima e além da álgebra da faculdade. Você não pode "pegar a matemática" sem cálculo.
Adamo
Que nível de conhecimento em cálculo é necessário? Tomei cálculo no ensino médio, mas não o uso desde então.
Patrick S. Forscher
Seriam todos os mesmos pré-requisitos que os de um programa de engenharia. Diferenciação, Integração e Séries / Sequências Infinitas compõem um ano de cálculo introdutório. Depois disso, você precisa de álgebra linear básica.
Adamo